Question

求2^n/n!的极限，步骤要详细点

Answer 1

极限是0。

令an=2^n/n!当n足够大时，a(n+1)-an=[2/(n+1)-1]2^n/n!＜0，可知数列{an}单调递减。

又an>0.可知数列{an}必有极限存在。

an=2^n/n!=2*2/2*2^(n-2)/[n*(n-1)***4*3]=2*2^(n-2)/[n*(n-1)***4*3]。

后面可以拆成0<2/3*2/4***2/n<(2/3)^(n-2)。可知n趋于无穷大时，其极限为0(夹逼定理)。

故原式极限为0（无穷小与有界函数乘积仍是无穷小）。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

Answer 2

令an=2^n/n!
当n足够大时，
a(n+1)-an=[2/(n+1)-1]2^n/n!＜0
可知数列{an}单调递减。
又an>0.可知数列{an}必有极限存在。
an=2^n/n!=2*2/2*2^(n-2)/[n*(n-1)***4*3]=2*2^(n-2)/[n*(n-1)***4*3]
后面可以拆成0<2/3*2/4***2/n<(2/3)^(n-2)。可知n趋于无穷大时，其极限为0(夹逼定理)
故原式极限为0（无穷小与有界函数乘积仍是无穷小）