Question

定义在R上的函数f(x)同时满足条件：对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)：且当x＞0时，f(x)＜0且f(1)=-2

（1）试判断函数f(x)的奇偶性 （2）求f(x)在区间[-4,4]上的最大值和最小值

Answer 1

对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)，所以可令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0
再用-x代替y，得f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(-x)=-f(x)，因此f(x)是奇函数。

（2）先证明函数的单调性，任取x1，x2，设x1<x2，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)（因为f(x)是奇函数）=f(x2-x1)（逆过来用f(x+y)=f(x)+f(y)），因为当x＞0时，f(x)＜0，而x2-x1>0，所以f(x2-x1)<0，所以f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)是减函数，所以最大值为f(-4)，最小值为f(4)，再求出两者值。
f(1)=-2，所以f(1+1)=f(1)+f(1)=-4，即f(2)=-4，这里再次用到f(x+y)=f(x)+f(y)，同样可求出f(4)=f(2)+f(2)=-8，f(-4)=-f(4)=8。

Answer 2

1.由f(x+y)=f(x)+f(y)可知f(0)=f(0)+f(0);f(0)=0;所以该函数过原点，又f(x-x)=f(x)+f(-x);f(-x)=-f(x)所以该函数是奇函数。
2.设X1>0,X2>0,切x1>x2. 由f(x+y)=f(x)+f(y)可知，f[(x1-x2)+x2]=f(x1)+f(x2);f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),因为x1-x2>0，所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0,所以f（x）是单调递减。所以f(-4)和f(4)是[-4,4]的min 和 max
又因为f(2)=f(1)+f(1);f(2)=-4 , f(4)=f(2)+f(2)=-8, 又因为这是奇函数所f（-4）=-f（4）=8.
所以min=-8，max=8.

速度慢了