Question

建造一个容积为8m³、深为2m的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元。

1.设底面一边长为x，求总造价y关于底面一边长x的函数式。
2.x为何值时，总造价最小，并求出最小值。
急求解题思路！！

Answer 1

解：（1）设底边一边长为xm，总造价为y元，则
由题意，知底面面积为4m2，则底面另一边长为
4
x
m，
∴y=120×4+80×(4x+4×
4
x
)=480+320(x+
4
x
)，x∈（0，+∞）
（2）当0＜x＜2时，y=f(x)=480+320(x+
4
x
)是单调递减的函数，证明如下：
设0＜x1＜x2＜2，则f(x1)-f(x2)=320(x1+
4
x1
)-320(x2+
4
x2
)=320[(x1-x2)+(
4
x1
-
4
x2
)]
=320[(x1-x2)+
4(x2-x1)
x1x2
]=320×
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2
∵0＜x1＜x2＜2∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-4＜0，即f（x1）-f（x2）＞0
故当0＜x＜2时，y=f(x)=480+320(x+
4
x
)是单调递减的函数
同理可证明当x＞2时，y=f(x)=480+320(x+
4
x
)是单调递增的函数
∴当x=2时，y=f(x)=480+320(x+
4
x
)在（0，+∞）上取到最小值，
最小值为f(2)=480+320(2+
4
2
)=1760元
答：（1）总造价y元关于底面一边长xm的函数解析式为y=480+320(x+
4
x )，此时此函数的定义域为（0，+∞）（2）总造价的最小值为1760元．