求y=sin{πx/[2(1+x^2​)]}值域

求y=sin{πx/[2(1+x^2)]}值域,请高手帮忙,麻烦带解法。谢谢。... 求y=sin{πx/[2(1+x^2)]}值域,请高手帮忙,麻烦带解法。谢谢。 展开
happyHH152
2012-10-05 · TA获得超过379个赞
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首先计算大括号里的值域:(π/2)*[x/(1+x^2)]
π/2是常数,现主要分析x/(1+x^2)的值域
1、当x是0时,x/(1+x^2)=0,;
2、当x>0时,将x/(1+x^2)取倒数:(1+x^2)/x=x+1/x≥2(根据基本不等式,下同),当且仅当x=1,等号成立,(1+x^2)/x≥2,则x/(1+x^2)属于(0,1/2]
3、当x<0时,将x/(1+x^2)取倒数:(1+x^2)/x=-(-x+-1/x)≤-2,当且仅当x=-1,等号成立,(1+x^2)/x≤-2,则x/(1+x^2)属于[-1/2,0)
综合以上三种情况,x/(1+x^2)的值域[-1/2,1/2]
所以(π/2)*[x/(1+x^2)]的值域[-1/4π,1/4π]
所以sin{πx/[2(1+x^2)]}值域[-√2/2,√2/2]
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