Question

已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别是h1，h2，h3

已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h请你探索以下问题
（1）若点P在一边BC上（如图①），此时h3=0，问h1，h2与h之间有怎样的关系？请说明理由：
（2）若点P在△ABC内部（如图②），此时h1，h2，h3与h之间有怎样的关系？请说明理由：
（3）若点P在△ABC外部（如图③），此是h1，h2，h3与h之间有怎样的关系？_____（直接写出你的猜想，不需要说明理由）

求解答啊啊啊，图画的不好，勉强看看吧

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Answer 1

(1)当P为△ABC内一点时
连接P与各顶点
得△PAB,△PAC,△PBC.
此3个△的面积和等于△ABC的面积;

而△PAB=1/2*a*h1
△PAC=1/2*a*h2
△PBC=1/2*a*h3
△ABC=1/2*a*h,
又因S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC,即
1/2*a*h1+1/2*a*h2+1/2*a*h3=1/2*a*h;
化简,得:h1+h2+h3=h.

(2)当P为△ABC外一点时,
方法同上,可得:h1+h2+h3>h.
也可以分别讨论点P的具体位置(例如:AB的一侧或AB的延长线上等等),根据△的面积关系,可得出具体的数量关系(例如:h1+h2-h3=h等等)

Answer 2

(1) h1+h2=h 利用以h为高的等边三角形的面积可以拆分为以h1和h2为高的两个小三角形面积之和，它们的底相同，故高h1+h2=h
（2） h1+h2+h3=h 同上，拆分为三个小三角形
（3） h1+h2-h3=h （等边三角形面积等于以h1和h2为高的两个三角形面积之和减去一h3为高的三角形面积之和）

Answer 3

（1）h=h1+h2
（2）跟第一题一样，只是加多一条辅助线而已，过点P作BC平行线L，所以h=h1+h2+h3
(3)也是第一题的延伸，过P作BC平行线lh+h3=h1+h2

追问

能详细一点吗