Question

证明：若f(x)+f(y)=f(x+y),且f(x)在0连续，则函数f（x）在R连续， 且f(x)=ax,其中a=f（1）是常数

求大神解啊，我是大一的，刚学微积分

Answer 1

经典的柯西方程问题。

首先，由归纳法易见f(x_1+…+x_n)=f(x_1)+…+f(x_n)对所有正整数n都成立。
下面先证x为有理数时f(x)=ax（其实这里不用连续性的条件），证明分为三步：
1. 令x=y=0, 知f(0)=0. 令y=-x, 知f(x)+f(-x)=f(0)=0.
故g为奇函数，讨论x>0的情形即可。
2. x为正整数时，f(x)=f(1+…+1)=f(1)+…+f(1)=…=xf(1)=ax.
3. x为正有理数时，记x=m/n，m,n为正整数。nf(m/n)=f(m/n)+…+f(m/n)(括号里加n次)=f(m/n+…+m/n)=f(m)=am. 即f(x)=ax.

往下就要用到连续性了。

首先，对于任意实数a, x, f(x)-f(a)=f(x-a). 由f在0点的连续性，x->a时， f(x)-f(a)=f(x-a)->0, 所以f在任意一点a处连续。

最后，对任何实数x, 可以找到一列有理数q_k趋近于x, 已证f(q_k)=a*q_k. 令k->∞，由f在x处连续，可知f(x)=ax.

Answer 2

经典的柯西方程问题。

首先，由归纳法易见f(x_1+…+x_n)=f(x_1)+…+f(x_n)对所有正整数n都成立。
下面先证x为有理数时f(x)=ax（其实这里不用连续性的条件），证明分为三步：
1. 令x=y=0, 知f(0)=0. 令y=-x, 知f(x)+f(-x)=f(0)=0.
故g为奇函数，讨论x>0的情形即可。
2. x为正整数时，f(x)=f(1+…+1)=f(1)+…+f(1)=…=xf(1)=ax.
3. x为正有理数时，记x=m/n，m,n为正整数。nf(m/n)=f(m/n)+…+f(m/n)(括号里加n次)=f(m/n+…+m/n)=f(m)=am. 即f(x)=ax.

往下就要用到连续性了。

首先，对于任意实数a, x, f(x)-f(a)=f(x-a). 由f在0点的连续性，x->a时， f(x)-f(a)=f(x-a)->0, 所以f在任意一点a处连续。

最后，对任何实数x, 可以找到一列有理数q_k趋近于x, 已证f(q_k)=a*q_k. 令k->∞，由f在x处连续，可知f(x)=ax.