设函数f(x)=m-e^(-nx)(m,n∈R)
（1）若f(X)在点x=0处的切线方程为y=x，求m、n的值。（2）在（1）条件下，设x≥0且x/(x+a)有意义，恒有f(x)≥x/(x+a)成立，求a的取值范围。（解...
（1）若f(X)在点x=0处的切线方程为y=x，求m、n的值。
（2）在（1）条件下，设x≥0且x/(x+a)有意义，恒有f(x)≥x/(x+a)成立，求a的取值范围。
（解一下第二问。） 展开
（2）在（1）条件下，设x≥0且x/(x+a)有意义，恒有f(x)≥x/(x+a)成立，求a的取值范围。
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函数形式为f(x)=1-e^(-x)；
若f(x)≥x/(x+a)成立，则1-e^(-x)≥x/(x+a)；
1-e^(-x)≥1-a/(x+a)；
e^(-x)≥a/(x+a)；
e^x≥1+(x/a)；
对比上式左端指数函数和右端线性函数图象可知，若要不等式恒成立，直线须位于指数函数之下，极限情况是相切。而两者一个公共点为(0,1)，该指数函数在该点处切线斜率e^0=1，所以直线斜率应小于1，即1/a<1；
所以有：a>1；
若f(x)≥x/(x+a)成立，则1-e^(-x)≥x/(x+a)；
1-e^(-x)≥1-a/(x+a)；
e^(-x)≥a/(x+a)；
e^x≥1+(x/a)；
对比上式左端指数函数和右端线性函数图象可知，若要不等式恒成立，直线须位于指数函数之下，极限情况是相切。而两者一个公共点为(0,1)，该指数函数在该点处切线斜率e^0=1，所以直线斜率应小于1，即1/a<1；
所以有：a>1；
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2025-07-02 广告
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