Question

f(x)=根号下(x²+1)-ax（a>0）求a≥1时，f（x）为单调函数

Answer 1

f(x)=√(x²+1)-ax（a>0）
任取x1<x2
f(x1)-f(x2)
=√(x²1+1)-ax1-[√(x²2+1)-ax2]
=√(x²1+1)-√(x²2+1)-a(x1-x2)
=(x²1-x²2)/[√(x²1+1)+√x²2+1)]-a(x1-x2)
=(x1+x2)(x1-x2)/[√(x²1+1)+√x²2+1)]-a(x1-x2)
=(x1-x2){(x1+x2)/[√(x²1+1)+√x²2+1)]-a}
∵x1<√(x²1+1) ,x2<√(x²2+1)
∴x1+x2<√(x²1+1)+√x²2+1)
∴(x1+x2)/[√(x²1+1)+√x²2+1)]<1
∵a≥1
∴(x1+x2)/[√(x²1+1)+√x²2+1)]-a<0
∵x1-x2<0
∴(x1-x2){(x1+x2)/[√(x²1+1)+√x²2+1)]-a}>0
∴f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
∴f(x)为单调减函数

费了半天劲输入，还不知道能否可以显示！

Answer 2

求导确实简单啊
f(x)=根号下(x²+1)-a[根号(x²+1)]^2 -a（a>0）
t=根号(x²+1) 定义域 值域都可知
f(t) 定义域 对称轴
可判断出a的取值和单调性

2根据复合函数继续做下去

追问

我高一……导数没学……

追答

我没有用导数啊 复合函数知识啊
f(x)=根号下(x²+1)-a[根号(x²+1)]^2 -a（a>0）
t=根号(x²+1) 定义域 值域都可知
f(t) 定义域 对称轴
可判断出a的取值和单调性

Answer 3

求导，

导数=1/(2根号（x²+1）)-a

根号（x²+1）大于等于1
a大于等于1
所以导数小于0

所以在R上单调递减

追问

我高一导数没学……