Question

证明函数f(x)=（根号下1+x²）-x在R上是单调减函数

利用函数单调性证明f(x)=（根号下1+x²）-x在R上是单调减函数
设x1,x2∈R且x1＜x2
f(x1)-f(x2)=（根号下1+x1²）-x1-(根号下1+x2²)+x2
如何比大小？

Answer 1

f(x1)-f(x2)=[√(1+x1²)-√(1+x2²)]-(x1-x2)
=(1+x1²-1-x2²)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]-(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]-(x1-x2)
=(x1-x2)[x1+x2-√(1+x1²)-√(1-x2²)]/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]
∵x1<x2
∴x1-x2<0
∵√(1+x1²)>|x1| √(1+x2²)>|x2|
∴x1-√(1+x1²)<0 x2-√(1+x2²)<0
x1+x2-√(1+x1²)-√(1+x2²)<0
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)在R上单调递减