Question

已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数y=f（x）满足条件：

对于定义域内任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），切当x>1时，f(X)>0.
(1)求f(1)与f(-1)的值： （2）求证：f(x)是偶函数： （3）求证：f(x)在（0，+∞）是增函数： （4）比较f(-5/2)与f(7/4)d的大小。

Answer 1

对于定义域内任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），切当x>1时，f(X)>0.(1)求f(1)与f(-1)的值：
解：令x1=x2=1则有：
f(1)=2f(1)
则f(1)=0
令x1=x2=-1
则f(1)=2f(-1)=0
则f(-1)=0
（2）求证：f(x)是偶函数：
由： f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
可知：f(x)=f(1*x)=f(x)+f(1)
所以：f(1)=0
又 f(1)=f[(-1)(-1)]=f(-1)+f(-1)
所以： f(-1)=0f(x)=f[(-x)*(-1)]=f(-x)+f(-1)=f(-x)
所以：　f(x)是偶函数
（3）求证：f(x)在（0，+∞）是增函数：
设定义域（0，正无穷）内的任意x1,x2 x1>x2　
设　x1=kx2 （k>1）
可得：f(x1)=f(kx2)=f(k)+f(x2)
已知　当x>1时，f(x)>0，
所以　　f(k)>0
所以　f(k)+f(x2)>f(x2)
即　　f(x1)>f(x2)
所以f(x)在（0,＋无穷）上是增函数
（4）比较f(-5/2)与f(7/4)d的大小。
解：因为函数为偶函数
则f(-5/2)=f(5/2)
因为f(x)在(0,+∞)为增函数
又5/2<7/4
则f(5/2)>f(7/4)
则f(-5/2)>f(7/4)
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Answer 2

令x=x1=x2则有f(x^2)=2f(x),再令-x=x1=x2,则有f(x^2)=2f(-x),即f(x)=f(-x)=f(x^2)/2,所以f(x)是偶函数
令x1=x2=1,则有f(1)=2f(1),解得f(1)=0;f(x)是偶函数,所以f(-1)=0;
第三问忘记怎么证明了

f(-5/2)=f(5/2)
f(x)在（0，+∞）是增函数
所以f(-5/2)>f(7/4)

Answer 3

已经回答的很好了
就是错了一个地方，5/2>7/4