Question

已知函数f(x)＝(1/3)x∧3-x∧2+ax+b的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为

已知函数f(x)＝(1/3)x∧3-x∧2+ax+b的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y＝3x-2
(1)求实数a,b的值
(2)设g(x)＝f(x)+m/(x-1)是〔2,+∞)上的增函数
①求实数m的最大值
②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y＝g(x)围成一个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

(1) 因f(0)=b，所以P(0,b)，P在切线上，P点坐标代入切线方程得b=-2;
对f(x)求导得f'(x)=x^2-2x+a，切线斜率为f'(0)=a，根据切线方程知其斜率为3，即a=3；
所以f(x)=(1/3)x∧3-x∧2+3x-2。
(2) g'(x)=x^2-2x+3-m/(x-1)^2=(x-1)^2+2-m/(x-1)^2;
令g'(x)>=0，考虑区间〔2,+∞)，得m最大值为3
(3)