Question

f(x+y)=f(x)+f(y)的单调性

已知x.y属于R，当x>0,f(x)>0时，判断f（x）在（0，正无穷大）上的单调性

Answer 1

设y=-x得：f(0)=f(x)+f(-x),若x=0，得f（0）=2f(0),所以f（0）=0，
所以：f（0）-f(x)=f(-x),即-f(x)=f(-x)，
所以：此函数为奇函数。
所以：当x小于0时，f（x）<0.
设x+y>0，y<0，x>0得：y的绝对值小于x。
所以f(x+y)=f(x)+f(y)>0，
所以f（x)-f(-y)>0---------- f(-x)=-f(x)
又因为x大于-y，所以此函数f（x）在（0，正无穷大）区间为增函数。