Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上.（不要用某某三角形相似计算）

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上.
（请不要用某某三角形相似的方法去证明，请给出过程，拜托了）
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积； （2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由； (3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分?若存在,求此时BE的长;若不存在,请说明理由.
（九年级上数学）

Answer 1

（1）梯形周长一半为12，因为BE为X，所以BF为（12-X）。过点E，A做EM，AN垂直于BC交于点M，N。易求AN=4。角EMB=角ANB=90度，因为角B公用，△ANB相似于△EMB。所以EM比AN等于BE比AB，所以EM等于4X/5。因为S△BEF=BF*EM/2，所以△BEF的面积等于24X-2X2/5（X2代表X的平方）
（2）梯形ABCD面积的一半为（4+10）*4/2/2=14。所以24X-2X2/5=14，即(X-5)(X-7)=0，X=5或7。因为X≤5，所以BE=5
（3）不存在。证明：梯形ABCD周长的三分之一为24/3=8，面积的三分之一为28/3。因为BE=X，所以BF=(8-X)，EM=4X/5，所以△BEF的面积为16X-2X2（X2代表X的平方）。所以16X-2X2=28/3，即3X2-24X+70=0。其中，a=3,b=-24,c=70。因为b的平方-4ac小于0，所以此方程无解，所以不存在BE的值。

追问

请问不用相似的方法该怎么证明

追答

用相似的方法简单

追问

但是这种相似的，我没学过，根本看不懂……你还有没有别的方法解题，拜托了，下午就要交了……

Answer 2

解：（1）由已知条件得：
梯形周长为24，高4，面积为28．
过点F作FG⊥BC于G
∴BK=
1
2
（BC-AD）=
1
2
×（10-4）=3，
∴AK=
AB2-BK2
=4，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，
∴BF=12-x，
过点A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK，
∴
FG
AK
=
BF
BA
，
即：
FG
4
=
12-x
5
，
则可得：FG=
12-x
5
×4
∴S△BEF=
1
2
BE•FG=-
2
5
x2+
24
5
x（7≤x≤10）；（3分）
（2）存在（1分）
由（1）得：-
2
5
x2+
24
5
x=14，
x2-12x+35=0，
（x-7）（x-5）=0，
解得x1=7，x2=5（不合题意舍去）
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7；
（3）不存在（1分）
假设存在，第一种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2（1分），
梯形ABCD周长的三分之一为243=8，面积的三分之一为283．因为BE=X，
所以BF=（8-X）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴8-x5=FM4，
∴FM=32-4x5，
∴△BEF的面积=-25x2+165x，
当 13梯形ABCD的面积=283时，
∴283=-25x2+165x，
整理方程得：-3x2+24x-70=0，
△=576-840＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．
同时分成1：2的两部分．（2分）
第二种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1（1分），
梯形ABCD周长的三分之一为243=8，面积的三分之一为283．因为BE=X，
所以BF=（16-X）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴8-x5=FG4，
∴FM=32-4x5，
∴△BEF的面积=-25x2+165x，
当 13梯形ABCD的面积=283时，
∴283×2=-25x2+165x，
整理方程得：3x2-24x+140=0，
△＜0
∴不存在这样的实数x．

Answer 3

1）梯形周长一半为12，因为BE为X，所以BF为（12-X）。过点E，A做EM，AN垂直于BC交于点M，N。易求AN=4。角EMB=角ANB=90度，因为角B公用，△ANB相似于△EMB。所以EM比AN等于BE比AB，所以EM等于4X/5。因为S△BEF=BF*EM/2，所以△BEF的面积等于24X-2X2/5（X2代表X的平方）
（2）梯形ABCD面积的一半为（4+10）*4/2/2=14。所以24X-2X2/5=14，即(X-5)(X-7)=0，X=5或7。因为X≤5，所以BE=5
（3）不存在。证明：梯形ABCD周长的三分之一为24/3=8，面积的三分之一为28/3。因为BE=X，所以BF=(8-X)，EM=4X/5，所以△BEF的面积为16X-2X2（X2代表X的平方）。所以16X-2X2=28/3，即3X2-24X+70=0。其中，a=3,b=-24,c=70。因为b的平方-4ac小于0，所以不存在BE的值。