人教版高中数学必修一求教
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意实数x,y有f(x+y)=f(x)·f(y)(1)证明:当x<0时,有1<f(x)<1(2)...
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意实数x,y有f(x+y)=f(x)·f(y)
(1)证明:当x<0时,有1<f(x)<1
(2)证明:f(x)是R上的增函数
(3)若f(x²)·f(2x-x²+2)>1,求x的取值范围
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(1)证明:当x<0时,有1<f(x)<1
(2)证明:f(x)是R上的增函数
(3)若f(x²)·f(2x-x²+2)>1,求x的取值范围
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1个回答
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1.
由:f(0+0)=f(0)*f(0)
即: f(0)=[f(0)]^2,
解此方程得:f(0)=1,或f(0)=0.
但已知:f(0)不=0,故有:f(0)=1.
对于x<0,有:-x>0
1=f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)
即:f(x)*f(-x)=1,
由于f(-x)>1,故:
x<0时, 0<f(x)<1
2.
对于任意x1,x2: x1<x2. (x2-x1)>0
有:f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1) *f(x1)-f(x1)
=f(x1)*[f(x2-x1)-1] ***
由于(1)对任何x,f(x)>0, 故,上式中f(x1)>0,
(2)对任x>0,f(x)>1,故上式中:
f(x2-x1)>1.
故*** 式>0
即:f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1) *f(x1)-f(x1)
=f(x1)*[f(x2-x1)-1]>0
即:f(x2)-f(x1)>0
即f(x2)>f(x1) 当x2>x1时恒成立.
即f(x)为增函数.
3.若f(x^2)*f(2x-x^2+2)>1
即:f(x^2+2x-x^2+2)>1=f(0)因为函数是R上的增函数
即:x^2+2x-x^2+2)>0
即:2x+2>0,即: x>-1.
由:f(0+0)=f(0)*f(0)
即: f(0)=[f(0)]^2,
解此方程得:f(0)=1,或f(0)=0.
但已知:f(0)不=0,故有:f(0)=1.
对于x<0,有:-x>0
1=f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)
即:f(x)*f(-x)=1,
由于f(-x)>1,故:
x<0时, 0<f(x)<1
2.
对于任意x1,x2: x1<x2. (x2-x1)>0
有:f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1) *f(x1)-f(x1)
=f(x1)*[f(x2-x1)-1] ***
由于(1)对任何x,f(x)>0, 故,上式中f(x1)>0,
(2)对任x>0,f(x)>1,故上式中:
f(x2-x1)>1.
故*** 式>0
即:f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1) *f(x1)-f(x1)
=f(x1)*[f(x2-x1)-1]>0
即:f(x2)-f(x1)>0
即f(x2)>f(x1) 当x2>x1时恒成立.
即f(x)为增函数.
3.若f(x^2)*f(2x-x^2+2)>1
即:f(x^2+2x-x^2+2)>1=f(0)因为函数是R上的增函数
即:x^2+2x-x^2+2)>0
即:2x+2>0,即: x>-1.
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