Question

在△ABC中，AB=AC, ∠A=120°,AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F.

（1）试猜想∠MAN的大小并说明理由.
(2) 证明BM=MN=NC.

Answer 1

⒈ ∵∠AMN＝2∠MAB（外角等于不相邻内角和；已知MB＝MA）
＝2∠NAC（理由同上；已知AB＝AC，∠B＝∠C）＝∠ANM；
又∵180º＝∠MAN＋∠AMN＋∠ANM＝∠MAN＋2（∠MAB＋∠NAC）……①
120º＝∠MAN＋（∠MAB＋∠NAC） ……②
①－②得：∠MAB＋∠NAC＝60º， ∴∠MAN＝60º 。
⒉∵120º＝∠AMN＋∠ANM（已证得：60º＝∠MAN，△内角和180º）
　　　　　＝2∠AMN（已证得∠AMN＝∠ANM），∠AMN＝60º；
　　故AM＝AN＝MN（为等边△）　，
　∴BM＝MN＝NC。　

Answer 2

1因为AB=AC所以角B等于角C等于（180-120）/2=30

又应为ME,NF垂直平分AB,CA所以角MAB=MBA=30 NAC=NCA=30 CAB=120所以角NAM=60