Question

若函数f(x)=1/2x²-x+1 x属于【1/2,a】值域是【1/2,a】求实数a的取值范围

Answer 1

解：
2x²-x+1=2(x-1/4)²+7/8
因为x∈[1/2，a]
所以2x²-x+1∈[1,2a²-a+1]
故y=1/(2x²-x+1) ∈[1/(2a²-a+1)，1]
又值域是【1/2,a】

所以1/(2a²-a+1)=1/2
a=1

解得a=1

答案：a=1

追问

是1/2x²

追答

分母只有2x²？

追问

（1/2）x²

追答

解：
1/2 x²-x+1=1/2 (x-1)²+1/2
①a＜1时，因为x∈[1/2，a]
所以当x=1/2时，取得最大值f(1/2)=3/4
当x=a时，取得最小值f(a)=a²/2-a+1
又值域是【1/2,a】
所以a²/2-a+1=1/2
a=3/4
解得a无解

②a≥1时，因为x∈[1/2，a]
所以当x=1时，取得最小值f(1)=1/2

f(1/2)=3/4，f(a)=a²/2-a+1
（1）当a²/2-a+1＞3/4即a＞3/2时，最大值为a²/2-a+1=a，解得a=2+√2
（2）当a²/2-a+1≤3/4即1≤a≤3/2时，最大值为3/4=a，故a=3/4不满足1≤a≤3/2

综上：a=2+√2

Answer 2

2+根号2