Question

已知函数fx的定义域是（0，正无穷），当x＞1时，fx＞0，且f（xy)=fx+fy。

1.求f（1） 2.证明：fx在定义域上是增函数。 3.若f（1/3）=-1，求满足不等式f（x）+f（1/x-2）大于等于2的x的取值范围

Answer 1

1. 令X=Y=1 所以f（1)=f（1）+f（1） 所以f（1）=0

2. 令xy=X1 X=X2 所以 Y=X1/X2
所以f（X1)=f（X2）+f（X1/X2） 即f（X1)—f（X2）=f （X1/X2）
设 X1大于X2大于0
有题目可知 当x＞1时，f（x）＞0 所以 f（X1/X2）大于0
所以f（X1)—f（X2）大于0
所以f（x）在定义域上是增函数
3. f（1）=f（1/3）+f（3）
所以f（3）=1
f（9）=f（3）+f（3）
所以f（9）=2
求f（x）+f（1/x-2）大于等于2 即 求 f（x）+f（1/x-2）大于等于f（9）
所以f（X/X-2) 大于等于f（9）
由2知 f（x)在定义域上是增函数
所以 X/X-2大于等于9 且 X/X-2 大于零 且 X大于0
所以 X 属于 （2 ，9/4]

Answer 2

1由题意令x=1,y=1得到f(1*1)=f(1)+f(1)即f(1)=0
2令a>1有 f(1)=f(a*(1/a))=f(a)+f(1/a)=0 得到：f(a)=-f(1/a)
对于大于1的任意x有 f(ax)-f(x)=f(a)>0所以在x>1时f(x)为增函数，x<1时可用上式同理可证。
3 f(1/3)=-1，沿用上题结论，有f(3)=1,原不等式=f(1-2x)>=2=f(3)+f(3)=f(9),由于f(x)为增函数，所以
1-2x>=9 x<= -4