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三角形的性质三角形的性质三角形的性质三角形的性质：：：： 1.三角形的两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的两边的差一定小于第三边。 2.三角形内角和等于180°。 3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。 4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。 6.一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。 7.三角形的三条角平分线交与一点，三条高线交与一点，三条中线交于一点。 8.直角等腰三角形底角的角平分线交对边的点为这条边的中点。 9.三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半。 10.等底等高的三角形面积相等。 11.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。11.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。 12.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。 13.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 14.全等三角形对应边相等，对应角相等。 15.三角形的重心在三条中线的交点上。 16在三角形中至少有一个角大于等于60°，也至少有一个角小于等于60°（包括等边三角形）。 17 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。 18 三角形的外心指三角形三条边的垂直平分线的相交点。 19.三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 20.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形
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第一章：三角形初步
（一）定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形也叫三角形。 三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
（二）分类：
按角度分a.锐角三角形：三个角都小于90度。
b.直角三角形：简称Rt△，其中一个角必须等于90度。
c.钝角三角形：其中一个角必须大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。
按边分 a不等边三角形；
b等腰三角形（含等腰直角三角形、等边三角形）
（三）三角形中的重要线段
中线：顶点与对边中点的连线。三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
中线定理 三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍
推论：三角形三条中线长度的平方和等于三边长度平方和的3/4
高：从三角形的一个顶点（三角形任意两条边的交点）向其对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段），叫做三角形的高。
角平分线：平分三角形的其中一个角的线段叫做三角形的角平分线，它到两边距离相等（注：一个角的平分线是射线，平分线的所在直线是这个角的对称轴）
中位线：任意两边中点的连线
中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边。
（四）性质：
1.三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2.三角形内角和等于180°，外角和等于360°。
注：在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为180°；而在非欧几何中，三角形的内角和有可能大于180°也有可能小于180°，此时三角形从平面变为球面或伪球面
3.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
4.边角关系：在同一三角形中，大边对大角，大角对大边。
5.一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。（包括等边三角形）
6.三角形具有稳定性。
证：任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。∵第三条边不可伸缩或弯折 ∴两端点距离固定 ∴这两条边的夹角固定
∵这两条边是任取的 ∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定∴三角形有稳定性 。
任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接 ∴两端点距离不固定 ∴这两边夹角不固定 ∴n边形（n≥4）每个角都不固定，所以n边形（n≥4）没有稳定性。
①直角三角形
（一）勾股定理：在任一直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。a2+b2=c2，a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB^2+BC^2=AC^2;
勾股定理的逆定理：若一个三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形。如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a2+b2=c2，则这个三角形一定是直角三角形。
几何语言：若△ABC满足AB^2+BC^2=AC^2，则∠ABC=90°
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。常见的勾股弦数：3，4，5；6，8，10；5,12,13；10,24,26 互素的勾股数组成为基本勾股数组，如：3,4,5；5,12,13；8,15,17
三角形判定方法：若一个三角形的三边a，b，c（a<b<c）满足a2+b2>c2，则这个三角形是锐角三角形；a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形；a2+b2<c2，则这个三角形是钝角三角形。
（二）射影定理：在任一直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积
几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，则BD2=AD×DC
拓展：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，(1)AB2=AD·AC(2)BC2=CD·AC(3)ABXBC=ACXBD
（三）性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
②斜三角形
在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有：
(1)正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形外接圆半径）
(2)余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。变形公式 cosA=(b2+c2-a2)/2bc；cosB=(a2+c2-b2)/2ac；cosC=(a2+b2-c2)/2ab
注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况
③等腰三角形
（一）性质（1）两底角相等
（2）两腰相等
（3）顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一）
（二）判定：（1）等角对等边
（2）两底角相等
④等边三角形
（一）性质：（1）顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
（2）等边三角形的各角都相等，且都等于60°
（3）四心重合（重心、垂心、外心、内心）
（二）判定：（1）三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
（三）S正△= [√3/4]a^2（a是三角形的边长）
全等三角形
（一）定义：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
（二）变化方式：轴对称，平移，旋转，翻折，多种变换叠加
（三）性质：全等三角形对应边相等，对应角相等，对应线段（角平分线、中线、高）也相等。
（四）全等的判定：
1．两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS"。
2．两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”。
3．两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”。
4．两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”。
5．两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“HL”。
注，证明三角形全等没有“AAA”或“SSA”的方法，即只有三个角相等无法推出两个三角形全等，两边与其中一边的对角相等也无法证明这两个三角形全等（一锐角一钝角）
相似三角形
（一）定义：形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形。
（二）性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等
相似三角形对应边的比叫做相似比
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比
（三）判定
1.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）
2.如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）
3.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）
4.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。
面积公式
(1)S=1/2ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）
(2)S=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC
(3)S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=(a+b+c)/2（海伦公式）
(4)S=abc/(4R) （R是外接圆半径）
(5)S=(a+b+c)r/2=pr（r是内切圆半径）
(6)S=2R^2×sinAsinBsinC
(7)s=p(p-a)×tan(A/2)
=p^2×tan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)
=(a^2-b^2)sinAsinB/[2sin(A-B)]
第二章：三角形的再认识
（一）梅涅劳斯定理
如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA)=1
证明：过点A作AG∥BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG，三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
逆定理：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
用定比分点来定义梅涅劳斯定理：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1
（二）塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 （BD/DC）×（CE/EA）×（AF/FB）=1
证法（Ⅰ）利用梅涅劳斯定理 ∵△ADC被直线BOE所截，∴ CB/BD×DO/OA×AE/EC=1 ① 而由△ABD被直线COF所截∴ BC/CD×DO/OA×AF/BF=1②
②÷①得：BD/DC×CE/EA×AF/FB=1
（Ⅱ）利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC×CE/EA×AF/FB=1
逆定理：在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA)=1，那么直线AD，BE，CF相交于同一点。
用定比分点来定义塞瓦定理：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1
用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F
根据塞瓦定理逆定理，∵（AD/DB)×(BE/EC)×(CF/FA)=[(CD×cotA)/(CD×cotB)]×[(AE×cotB)/(AE×cotC)]×[(BF×cotC)/ (AE×cotB)]=1，∴三条高CD、AE、BF交于一点
（三）三角形的五心四圆三点一线（...）
注：①三角形的内心、重心都在三角形的内部
②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。（三条高的延长线交于一点，在三角形的外部）
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点）
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系
（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等
（2）三角形的外心到三顶点的距离相等
（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心
（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心，三角形的内心是它旁心三角形的垂心
（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心
（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心
（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍
下面是更为详细的性质：
1、垂心
设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H
性质1 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
性质2 △ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH×HD=BH×HE=CH×HF。
性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(称这样的四点为一垂心组)。
性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。
性质5 在斜三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP×tanB+AC/AQ×tanC=tanA+tanB+tanC。
性质6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
性质7 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
2、内心
性质1 设I为△ABC的内心的充要条件是：I到△ABC三边的距离相等。
性质2 设I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+1/2∠A,∠AIC=90°+1/2∠B,∠AIB=90°+1/2∠C.反之亦然。
性质3 设I为△ABC内一点，AI所在直线交△ABC的外接圆于D。I为△ABC内心的充要条件是ID=DB=DC。
性质4 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F；内切圆半径为r，p=(a+b+c)/2，
则(1)S△ABC=pr(2)r=2S△ABC/a+b+c (3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c(4)abcr=p×AI×BI×CI
性质5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I为△ABC的∠A平分线AD(D在△ABC的外接圆上)上的点，且DI=DB，则I为△ABC的内心。
性质6 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K,交△ABC的外接圆于D，则 AI/KI=AD/DI=DI/DK=(b+c)/a。
3、外心
性质1 三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。
性质2 设O为△ABC的外心，则∠BOC=2∠A，或∠BOC=360°-2∠A
性质3 设三角形的三条边长，外接圆半径、面积分别为a、b、c,R、S，则R=abc/4S
性质4 过△ABC的外心O任作一直线与边AB、AC(或延长线)分别相交于P、Q两点，则AB/AP×sin2B+AC/AQ×sin2C=sin2A+sin2B+sin2C
性质5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。
4、重心
性质1 设G为△ABC的重心，△ABC内的点Q在边BC、CA、AB边上的射影分别为D、E、F，则当Q与G重合时QD×QE×QF最大；反之亦然。
性质2 设G为△ABC的重心，AG、BG、CG的延长线交△ABC的三边于D、E、F,则S△AGF=S△BGD=S△CGE；反之亦然。
性质3 设G为△ABC的重心，则S△ABG=S△BCG=S△ACG= S△ABC/3；反之亦然。
5、旁心
性质1 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
性质2 每个三角形都有三个旁心。
性质3 旁心到三边的距离相等。
第三章：经典证明
斯坦纳—雷米欧斯定理 如果三角形中两内角平分线相等，则此三角形必为等腰三角形。
证明1 在△EBC与△DBC中：
sin(2β+γ)/sin2β=BC/CE=BC/BD=sin(β+2γ)/sin2γ
∴2sinβcosβsin(β+2γ)-2sinγcosγsin(2β+γ)=0
∴sinβ[sin2(β+γ)+sin2γ]-sinγ[sin2（β+γ）+sin2β]=0（积化和差）
∴sin2(β+γ)[sinβ-sinγ]+2sinβsinγ[cosγ-cosβ]=0（重新分组并提取公因式）
∴sin [(β-γ)/2][sin2(β+γ)cos[(β+γ)/2]+2sinβsinγsin[(β+γ)/2]=0（和差化积）
显然上式的后一个因式的值大于零，∴sin[(β-γ)/2]=0
∴β=γ ∴AB=AC
证明2 分别以BD,CE为底边,以a+b为底角向上做两个等腰三角形BDF,CEG。连接AF,AG，则ADBF四点共圆,AGCE四点也共圆
∵∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+b+a=180度
∴FAG共线
∵∠4+∠BCG=∠4+(b+b+a)=∠5+(b+b)+a=180度
∴BCGF四点共圆
∵△FBD≌△GEC
∴BF=CG
结合共圆条件得FG//BC,得等腰梯形FBCG,∠FBC=∠GCB 即b+a+a=b+b+a 整理得a=b ∴∠B=∠C ∴AB=AC
证明3 将△AEC绕点O（点O为BI和CI的中垂线的交点）逆时针旋转，使CE与BD重合，A的对应点为A'。设BD与CE交于I，则I为△ABC的内心，AI平分∠BAC，则旋转后AI的对应线为A'I'。连接AA'，A'B。 ∵∠DA'B=∠BAC（旋转对应角）
∴A、A'、B、D四点共圆
∴∠AA'D=∠ABD
∵∠AID=∠ABD+∠BAI（外角定理）
∴∠AID=∠AA'D+∠I'A'D=∠AA'I' ∴A、A'、I'、I四点共圆
∵AI=A'I'
∴四边形AA'I'I是等腰梯形
∴AA'∥II'，即AA'∥BD
∴四边形AA'BD是等腰梯形
∴AB=A'D=A'C'
∵A'C'=AC
∴AB=AC
第四章：三角学
（一）三角恒等式
设A，B，C是三角形的三个内角
(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证：tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-c)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC
(2)cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
(3)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
(4)cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
(5)tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
(6)sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
(7)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
(8)[tan(A/2)+tan(B/2)][tan(A/2)+tan(C/2)]=sec(A/2)^2
（一）定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形也叫三角形。 三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
（二）分类：
按角度分a.锐角三角形：三个角都小于90度。
b.直角三角形：简称Rt△，其中一个角必须等于90度。
c.钝角三角形：其中一个角必须大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。
按边分 a不等边三角形；
b等腰三角形（含等腰直角三角形、等边三角形）
（三）三角形中的重要线段
中线：顶点与对边中点的连线。三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
中线定理 三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍
推论：三角形三条中线长度的平方和等于三边长度平方和的3/4
高：从三角形的一个顶点（三角形任意两条边的交点）向其对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段），叫做三角形的高。
角平分线：平分三角形的其中一个角的线段叫做三角形的角平分线，它到两边距离相等（注：一个角的平分线是射线，平分线的所在直线是这个角的对称轴）
中位线：任意两边中点的连线
中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边。
（四）性质：
1.三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2.三角形内角和等于180°，外角和等于360°。
注：在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为180°；而在非欧几何中，三角形的内角和有可能大于180°也有可能小于180°，此时三角形从平面变为球面或伪球面
3.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
4.边角关系：在同一三角形中，大边对大角，大角对大边。
5.一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。（包括等边三角形）
6.三角形具有稳定性。
证：任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。∵第三条边不可伸缩或弯折 ∴两端点距离固定 ∴这两条边的夹角固定
∵这两条边是任取的 ∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定∴三角形有稳定性 。
任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接 ∴两端点距离不固定 ∴这两边夹角不固定 ∴n边形（n≥4）每个角都不固定，所以n边形（n≥4）没有稳定性。
①直角三角形
（一）勾股定理：在任一直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。a2+b2=c2，a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，则AB^2+BC^2=AC^2;
勾股定理的逆定理：若一个三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形。如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a2+b2=c2，则这个三角形一定是直角三角形。
几何语言：若△ABC满足AB^2+BC^2=AC^2，则∠ABC=90°
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。常见的勾股弦数：3，4，5；6，8，10；5,12,13；10,24,26 互素的勾股数组成为基本勾股数组，如：3,4,5；5,12,13；8,15,17
三角形判定方法：若一个三角形的三边a，b，c（a<b<c）满足a2+b2>c2，则这个三角形是锐角三角形；a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形；a2+b2<c2，则这个三角形是钝角三角形。
（二）射影定理：在任一直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积
几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，则BD2=AD×DC
拓展：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，(1)AB2=AD·AC(2)BC2=CD·AC(3)ABXBC=ACXBD
（三）性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
②斜三角形
在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有：
(1)正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为三角形外接圆半径）
(2)余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。变形公式 cosA=(b2+c2-a2)/2bc；cosB=(a2+c2-b2)/2ac；cosC=(a2+b2-c2)/2ab
注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况
③等腰三角形
（一）性质（1）两底角相等
（2）两腰相等
（3）顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一）
（二）判定：（1）等角对等边
（2）两底角相等
④等边三角形
（一）性质：（1）顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
（2）等边三角形的各角都相等，且都等于60°
（3）四心重合（重心、垂心、外心、内心）
（二）判定：（1）三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
（三）S正△= [√3/4]a^2（a是三角形的边长）
全等三角形
（一）定义：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
（二）变化方式：轴对称，平移，旋转，翻折，多种变换叠加
（三）性质：全等三角形对应边相等，对应角相等，对应线段（角平分线、中线、高）也相等。
（四）全等的判定：
1．两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS"。
2．两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”。
3．两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”。
4．两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”。
5．两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“HL”。
注，证明三角形全等没有“AAA”或“SSA”的方法，即只有三个角相等无法推出两个三角形全等，两边与其中一边的对角相等也无法证明这两个三角形全等（一锐角一钝角）
相似三角形
（一）定义：形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形。
（二）性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等
相似三角形对应边的比叫做相似比
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比
（三）判定
1.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似）
2.如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似）
3.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两三角形相似）
4.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。
面积公式
(1)S=1/2ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）
(2)S=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC
(3)S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=(a+b+c)/2（海伦公式）
(4)S=abc/(4R) （R是外接圆半径）
(5)S=(a+b+c)r/2=pr（r是内切圆半径）
(6)S=2R^2×sinAsinBsinC
(7)s=p(p-a)×tan(A/2)
=p^2×tan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)
=(a^2-b^2)sinAsinB/[2sin(A-B)]
第二章：三角形的再认识
（一）梅涅劳斯定理
如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA)=1
证明：过点A作AG∥BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG，三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
逆定理：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
用定比分点来定义梅涅劳斯定理：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1
（二）塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 （BD/DC）×（CE/EA）×（AF/FB）=1
证法（Ⅰ）利用梅涅劳斯定理 ∵△ADC被直线BOE所截，∴ CB/BD×DO/OA×AE/EC=1 ① 而由△ABD被直线COF所截∴ BC/CD×DO/OA×AF/BF=1②
②÷①得：BD/DC×CE/EA×AF/FB=1
（Ⅱ）利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC×CE/EA×AF/FB=1
逆定理：在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA)=1，那么直线AD，BE，CF相交于同一点。
用定比分点来定义塞瓦定理：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1
用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F
根据塞瓦定理逆定理，∵（AD/DB)×(BE/EC)×(CF/FA)=[(CD×cotA)/(CD×cotB)]×[(AE×cotB)/(AE×cotC)]×[(BF×cotC)/ (AE×cotB)]=1，∴三条高CD、AE、BF交于一点
（三）三角形的五心四圆三点一线（...）
注：①三角形的内心、重心都在三角形的内部
②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。（三条高的延长线交于一点，在三角形的外部）
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点）
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系
（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等
（2）三角形的外心到三顶点的距离相等
（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心
（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心，三角形的内心是它旁心三角形的垂心
（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心
（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心
（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍
下面是更为详细的性质：
1、垂心
设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H
性质1 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
性质2 △ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH×HD=BH×HE=CH×HF。
性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(称这样的四点为一垂心组)。
性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆。
性质5 在斜三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP×tanB+AC/AQ×tanC=tanA+tanB+tanC。
性质6 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
性质7 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
2、内心
性质1 设I为△ABC的内心的充要条件是：I到△ABC三边的距离相等。
性质2 设I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+1/2∠A,∠AIC=90°+1/2∠B,∠AIB=90°+1/2∠C.反之亦然。
性质3 设I为△ABC内一点，AI所在直线交△ABC的外接圆于D。I为△ABC内心的充要条件是ID=DB=DC。
性质4 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F；内切圆半径为r，p=(a+b+c)/2，
则(1)S△ABC=pr(2)r=2S△ABC/a+b+c (3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c(4)abcr=p×AI×BI×CI
性质5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I为△ABC的∠A平分线AD(D在△ABC的外接圆上)上的点，且DI=DB，则I为△ABC的内心。
性质6 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K,交△ABC的外接圆于D，则 AI/KI=AD/DI=DI/DK=(b+c)/a。
3、外心
性质1 三角形的外心到三顶点的距离相等，反之亦然。
性质2 设O为△ABC的外心，则∠BOC=2∠A，或∠BOC=360°-2∠A
性质3 设三角形的三条边长，外接圆半径、面积分别为a、b、c,R、S，则R=abc/4S
性质4 过△ABC的外心O任作一直线与边AB、AC(或延长线)分别相交于P、Q两点，则AB/AP×sin2B+AC/AQ×sin2C=sin2A+sin2B+sin2C
性质5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。
4、重心
性质1 设G为△ABC的重心，△ABC内的点Q在边BC、CA、AB边上的射影分别为D、E、F，则当Q与G重合时QD×QE×QF最大；反之亦然。
性质2 设G为△ABC的重心，AG、BG、CG的延长线交△ABC的三边于D、E、F,则S△AGF=S△BGD=S△CGE；反之亦然。
性质3 设G为△ABC的重心，则S△ABG=S△BCG=S△ACG= S△ABC/3；反之亦然。
5、旁心
性质1 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
性质2 每个三角形都有三个旁心。
性质3 旁心到三边的距离相等。
第三章：经典证明
斯坦纳—雷米欧斯定理 如果三角形中两内角平分线相等，则此三角形必为等腰三角形。
证明1 在△EBC与△DBC中：
sin(2β+γ)/sin2β=BC/CE=BC/BD=sin(β+2γ)/sin2γ
∴2sinβcosβsin(β+2γ)-2sinγcosγsin(2β+γ)=0
∴sinβ[sin2(β+γ)+sin2γ]-sinγ[sin2（β+γ）+sin2β]=0（积化和差）
∴sin2(β+γ)[sinβ-sinγ]+2sinβsinγ[cosγ-cosβ]=0（重新分组并提取公因式）
∴sin [(β-γ)/2][sin2(β+γ)cos[(β+γ)/2]+2sinβsinγsin[(β+γ)/2]=0（和差化积）
显然上式的后一个因式的值大于零，∴sin[(β-γ)/2]=0
∴β=γ ∴AB=AC
证明2 分别以BD,CE为底边,以a+b为底角向上做两个等腰三角形BDF,CEG。连接AF,AG，则ADBF四点共圆,AGCE四点也共圆
∵∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+b+a=180度
∴FAG共线
∵∠4+∠BCG=∠4+(b+b+a)=∠5+(b+b)+a=180度
∴BCGF四点共圆
∵△FBD≌△GEC
∴BF=CG
结合共圆条件得FG//BC,得等腰梯形FBCG,∠FBC=∠GCB 即b+a+a=b+b+a 整理得a=b ∴∠B=∠C ∴AB=AC
证明3 将△AEC绕点O（点O为BI和CI的中垂线的交点）逆时针旋转，使CE与BD重合，A的对应点为A'。设BD与CE交于I，则I为△ABC的内心，AI平分∠BAC，则旋转后AI的对应线为A'I'。连接AA'，A'B。 ∵∠DA'B=∠BAC（旋转对应角）
∴A、A'、B、D四点共圆
∴∠AA'D=∠ABD
∵∠AID=∠ABD+∠BAI（外角定理）
∴∠AID=∠AA'D+∠I'A'D=∠AA'I' ∴A、A'、I'、I四点共圆
∵AI=A'I'
∴四边形AA'I'I是等腰梯形
∴AA'∥II'，即AA'∥BD
∴四边形AA'BD是等腰梯形
∴AB=A'D=A'C'
∵A'C'=AC
∴AB=AC
第四章：三角学
（一）三角恒等式
设A，B，C是三角形的三个内角
(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证：tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-c)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC
(2)cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
(3)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
(4)cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
(5)tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
(6)sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
(7)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
(8)[tan(A/2)+tan(B/2)][tan(A/2)+tan(C/2)]=sec(A/2)^2
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