Question

定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n) (m,n>0),且当x>1时

定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n) (m,n>0),且当x>1时，f(x)>0
(1) 求证：f(x)(0，+∞）上是增函数；
（2）当f(2)=1时,解不等式f(x+2)-f(2x）>2

Answer 1

（1）设0＜x1＜x2，则x2/x1>1
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴f(x2/x1)＞0
f(x2)=f[x1×(x2/x1)]=f(x1)+f(x2/x1)＞f(x1)
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数

(2) f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2
f(x+2)-f(2x）>2=f(4)
∴f(x+2)>f(4)+f(2x）=f(8x)
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数
∴当x+2>0且x>0时，x+2>8x
∴x<2/7
∴0<x<2/7

Answer 2

证明：设0＜x₁＜x₂那么比存在一个数 n＞1的数可以使x₁n=x₂ 那么f（x₂）=f（nx₁）=f(n)+
f(x₁),因为当x>1时，f(x)>0，f(x₂)-f(x₁)=f(n)＞0 所以f(x)(0，+∞）上是增函数。