Question

若n阶矩阵A=[α1，α2，...，αn]的前n-1个列向量线性相关，后n-1个线性无关，β=α1+α2+....+αn,证明

若n阶矩阵A=[α1，α2，...，αn]的前n-1个列向量线性相关，后n-1个线性无关，β=α1+α2+....+αn,证明：
1，方程组Ax=β必有无穷多解
2，若[k1，k2，...，kn]T是Ax=β的任一解，则kn=1

Answer 1

1.、
A=[α1，α2，...，αn]的前n-1个列向量线性相关，后n-1个线性无关

所以r(A)=n-1<n
β=α1+α2+....+αn是α1，α2，...，αn的线性组合

所以增广矩阵的秩r(A|β)=r(A)
所以方程组Ax=β必有无穷多解

2.
若[k1，k2，...，kn]T是Ax=β的解

则k1α1+...+knαn=α1+...+αn
即(k1-1)α1+...+(kn-1)αn=0
假设kn≠1，则αn=(k1-1)/(kn-1) α1 +... + (kn-1 -1)/(kn - 1) αn-1
所以r(A)=r(α1，α2，...，αn)=r(α1，α2，...，αn-1)<n-1
矛盾
所以kn=1

Answer 2

1、首先，(1,1,...,1)^T是他的解，故其有解
而r(A)=n-1<n，故其有无穷组解。
2、若[k1，k2，...，kn]T是Ax=β的任一解
则k1α1+k2α2+...+knαn=β=α1+α2+....+αn
则(k1-1)α1+(k2-1)α2+...+(kn-1)αn=0
若kn不等于1
则αn可由其他向量线性表示，
又前n-1个列向量线性相关，
故r(A)<=n-2，矛盾，故kn=1