Question

极限证明

求证：对于任何一个无理数x,存在一个有理数序列{Rn},limRn=x

不举例子，只是想知道一个严密的证明过程

Answer 1

取有理数a1,b1使a1<x<b1
取中点c1=(a1+b1)/2则x必属于(a1,c1)或(c1,b1)之间
将其左右端点分别定为a2,b2
以此类推
则an单调增有上界b1，bn单调减有下界a1，所以an,bn都有极限
设an->a,bn->b
因为|an-bn|=(a1-b1)/2^(n-1)->0
所以lim(an-bn)=0
所以a=b
因为an<x<bn
所以a=x=b
an,bn可以使所求的Rn