Question

已知点P(0,5)及圆C: x^2+y^2+4x-12y+24=0 已知点P(0,5)及圆C: x^2+y^2+4x-12y+24=0

(1)若直线L过点P,且与圆C的圆心相距为2,求直线L的方程
(2)求过P点的圆C弦的重点轨迹方程.

Answer 1

(1) 设所求直线斜率为k, 方程为y - 5= k(x - 0), kx -y + 5 = 0
圆C: (x + 2)² + (y - 6)² = 16, 圆心C(-2, 6)
圆心C与直线L相距2 = |-2k - 6 + 5|/√(k² + 1) = |2k+1|/√(k² + 1)
k =3/4
直线L的方程: y = 3x/4 + 5

(2) 显然，从C向直线L的垂线与L的交点M为弦的中点。
CMP为直角三角形
CM² + MP² = CP²
设M(x, y)
(x +2)² + (y - 6)² + (x - 0)² + (y - 5)² = (-2-0)² + (6 - 5)²
x² + 2x + y² -11y + 30 = 0
x² + 2x + 1 + y² - 11y + 121/4 = -30 + 1 + 121/4
(x+1)² + (y - 11/2)² = 5/4
此为M的轨迹方程