Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.

在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.
(1)连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
(2)若设BP为x,CE为y，试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(3)若PE∥BD，试求出此时BP的长.

Answer 1

(1)△APE全等△ADE; =>AD=AP=3 => BP^2=3^2-2^2=5 =>BP=√5
(2)角APB+角CPE=90度=角CPE+角CEP=>角APB=角CEP=>△ABP~△PCE ; PC=3-x
=> 2:x =(3-x):y => y=-0.5x^2+1.5x =-05(x-1.5)^2+1.125; 0<x<3
=> 当x=1.5时 y最大值 1.125(or 9/8)
(3) 设BP=x;CP=3-x => 2:x =(3-x):CE =>CE=0.5(3x-x^2)
PE//BD => (3-x):3=CP:CB=CE:CD=0.5(3x-x^2):2
=>3x^2-13x+12=0=(3x-4)(x-3) => x=4/3 (3不合 ) => BP=4/3

Answer 2

解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知），
∴AP=AD=3（全等三角形的对应边相等）；
在Rt△ABP中，BP=根号下(AP^-AB^)=根号下（3^-2^）=5（勾股定理）；

（2）∵AP⊥PE（已知），
∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴AE：PC=BP：CE
即2：3-x=x：y
y=1/2x^+3/2x
=-1/2(x-3/2)^+9/8
∴当x=32时，y有最大值，最大值是98；

（3）如图，连接BD．设BP=x，CE=-1/2x^+3/2x
∵PE∥BD，
∴△CPE∽△CBD，
∴CP：CB=CE：CD（相似三角形的对应边成比例），
即(3-x)/3=(-1/2x^+3/2x)/2
化简得，3x^-13x+12=0
解得，x1=4/3，x2=3（不合题意，舍去），
∴当BP=4/3时，PE∥BD．

Answer 3

（1）当△APE≌△ADE时，ap=ad=3，所以在△ABP中，∠B=90°，AB=2，AP=3.∴BP=根号3^2-2^2=根号5
（2）BP=X，CE=Y∴PC=3-X,DE=2-Y,又∵DE=PE=2-Y,∴（2-y）^2-(3-X)^2=Y^2,∴y=2/3X-1/4x^2-5/4，∴y=-1/4(X-3)^2＋3/4∴当x=3时Ymax=3/4
（3）设BP=x;CP=3-x => 2:x =(3-x):CE =>CE=0.5(3x-x^2)
PE//BD => (3-x):3=CP:CB=CE:CD=0.5(3x-x^2):2
=>3x^2-13x+12=0=(3x-4)(x-3) => x=4/3 因为3=bc(舍去）=> BP=4/3

Answer 4

(1)当△APE与△ADE全等时，则AD=AP=3,所以BP=√5。