Question

函数f(x)=-x^3+x^2,g(x)=aInx,a为实数.对任意x属于[1,e],g(x)>=-x^2+(a+2)x恒成立,求a取值范围

Answer 1

对任意x属于[1,e],g(x)>=-x^2+(a+2)x恒成立,
<==>a(x-lnx)<=x^-2x,①
设h(x)=x-lnx,x∈[1,e],
h'(x)=1-1/x>0,
∴h(x)>=h(1)=1,
∴①化为a<=（x^-2x)/(x-lnx),记为F(x),
F'(x)=[(2x-2)(x-lnx)-(1-1/x)(x^-2x)]/(x-lnx)^
=[2x^-2x-(2x-2)lnx-x^+3x-2]/(x-lnx)^
=(x-1)[(x+2)-2lnx]/(x-lnx)^>0,
∴F(x)↑，
∴F(x)|min=F(1)=-1,
∴a<=-1，为所求。