Question

如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P是三角形内一点,且角APB=角APC,试说明PC=PB的理由

Answer 1

解:作∠CAP'=∠BAP,使AP'=AP,点P'与P在AC两侧,连接P'C,PP'.
∵AP'=AP;∠CAP'=∠BAP;AC=AB.
∴∠APP'=∠AP'P;且⊿CAP'≌⊿BAP(SAS),P'C=PB;∠AP'C=∠APB.
又∠APB=∠APC,则:∠APC=∠AP'C(等量代换).
∴∠APC-∠APP'=∠AP'C-∠AP'P,即∠CPP'=∠CP'P.
故PC=P'C=PB.

追问

怎么做

追答

在三角形ABC外部作∠CAP'=∠BAP,使AP'=AP.(其他同上)

Answer 2

证明：
作AE⊥CP，交CP的延长线于点E，作AF⊥BP，交BF的延长线于点F
∵∠APC=∠BPC
∴∠APE=∠APF
∴AE=AF
∵AB=AC，∠AEC=∠AFB=90°
∴△AEC≌△AFB
∴∠ACE=∠ABF
∵AB =AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠PBC=∠PCB
∴PB=PC

追问

用旋转法呀

追答

将△ABP绕点A旋转，使点B与点C重合，得到△AEC
连接PE
根据题意可得AE=AP，CE=BP，∠AEC=∠APB=∠APC
∵∠APE=∠AEP
∴∠CEP=∠CPE
∴CP=CE
∴CP=BP

Answer 3

证全等

追问

它说是用旋转法

追答

反证法
若P不在BC的高上， 矛盾
所以P在BC的高上，
SAS

追问

能详细点吗