Question

如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC

（1）求证OC平分∠ACD
（2）求证OA⊥OC

Answer 1

证明：

如上图，延长AO交CD延长线与E

因为O为BD中点，所以OB=OD

又因为∠B=∠BDC=90°，∠BOA=∠DOE（对顶角）

所以△ABO≌△DOE，

所以OA=OE，即O为AE中点

又因为∠B=∠BDC=90°

所以AB∥CD，所以∠BAO=∠E（内错角）

因为OA平分∠BAC

所以∠BAO=∠OAC

所以∠E=∠OAC

所以△ACE是等腰△

因为O是AE中点，三线合一

所以OC平分∠ACD，并且OC⊥OA

Answer 2

证明：
（1）
延长AO，交CD的延长线于点E
∵∠B=∠BDC=90°
∴AB∥CD
∴∠E=∠BAO
∵∠BAO=∠CAO
∴∠E=∠CAO
∴CA=CE
∵AO=OD，∠AOB=∠DOE
∴△AOB≌△EOD
∴AO=OE
∵CA=CE
∴CO平分∠ABD
（2）
∵CA=CE，AO=OE
∴CO⊥AO（等腰三角形三线合一）

Answer 3

证明:(1)作OE⊥AC于E.
∵OA平分∠BAC.
∴OE=OB.(角平分线的性质)
又OD=OB.(已知)
∴OD=OF.(等量代换)
故OC平分∠ACD.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)
(2)∵∠ABD+∠D=180°.
∴∠BAC+∠ACD=180°.(四边形内角和为360度)
故∠OAC+∠OCA=(1/2)(∠BAC+∠ACD)=90°.
∴∠AOC=90°,OA⊥OC.

Answer 4

①过点O作OE⊥AC于E，则OE=OB，∵OB=OD，∴OE=OD，∴点O在∠ACD的角平分线上，
∴OC平分∠ACD；
②∠OAC+∠ACO=1/2(∠BAC+∠ACD)=90°，∴OA⊥OC.