Question

如图,在三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,D为AB的中点,点M,N分别在AC,CB的延长线上,MD垂直DN，连MN．

（1）求证：DM＝DN （2）若角DMC＝15度，BN＝1，求MN的长

Answer 1

解：（1）由等腰直角三角形的性质，可知角DCM=角DBN=135度，且DC=BD
又角CDM与角BDM互余，角BDN也与角BDM互余，故角CDM=角BDN
所以三角形CDM与三角形BDN全等。所以DM=DN
（2）在三角形BDN中，利用正弦定理，求得DN=二倍根号2
根据（1）的结论，DNM为等腰直角三角形，所以斜边等于直角边根号2倍，所以MN=4

Answer 2

△MCD≌△NBD:因为MD垂直于ND，在等腰直角三角形中，CD为中线，有三线合一得CD⊥AB
∴∠CDB=∠MDN=90
∴∠CDM=∠BDN
又∵CD为斜边中线
∴CD=BD=AD
∵∠MCD=∠NBD=180-45=135
∴由ASA得全等所以DM=ND