Question

如图,在△ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点，使得CN=BM，连接AN,CM相交于点P，证∠APM=4

证∠APM＝45°

Answer 1

解：如图，过A作AB的垂线，在其上截取AK=CN=MB，连KM，KC，则
因为AM=BC，AK=BM，∠KAM=∠B=90°，
所以△KAM≌△MBC，
所以KM=CM，∠AMK=∠MCB
因为∠CMB+∠MCB=90°，
所以∠CMB+∠AMK=90°
所以∠KMC=90°
所以△KMC为等腰直角三角形，∠MCK=45°
又因为∠KAM=∠B=90°，AK=CN，
所以AK∥CN，
所以四边形ANCK是平行四边形，
所以KC∥AN，
所以∠APM=∠KCM=45°．

Answer 2

用解析几何法，建立直角坐标系，点B放在原点，点A放在x轴正方向上，点C放在y轴上，
设点A为(a,0),点C为(0,c),
因为AM=BC=c, 所以BM=a-c, 点M为(a-c,0),
因为CN=BM=a-c, 所以BN=c-(a-c)=2c-a, 点N为(0,2c-a)
K1=K(AN)= [0-(2c-a)]/(a-0)=(a-2c)/a,
K2=K(CM)=(c-0)/[0-(a-c)]=c/(c-a)
tan∠APM=(K1-K2)/(1-K1*K2)=[(a-2c)/a-c/(c-a)]/[1-(a-2c)/a*c/(c-a)]
=[2ac-a^2-c^2]/[2ac-a^2-c^2]=1 所以∠APM=45度