Question

如图，O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a，点D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD

1、 说明△COD是等边三角形2、 当a=150°时，判断△AOD的形状，并说明理由3、 当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

第一个问题：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°。
∵△ADC≌△BOC，∴DC＝OC，而∠DCO＝60°，∴△COD是等边三角形。

第二个问题：
∵△ADC≌△BOC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°。
∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADO＝∠ADC－∠CDO＝150°－60°＝90°。
∴△AOD是以AO为斜边的直角三角形。

显然有：∠AOC＝360°－∠AOB－∠BOC＝360°－110°－150°＝100°。
∵△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOD＝∠AOC－∠COD＝100°－60°＝40°。
∴Rt△AOD是以AO为斜边的直角非等腰三角形。

第三个问题：
∵∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－110°－α－60°＝190°－α。
　∠ADO＝∠ADC－∠CDO＝α－60°。
于是：

一、当∠AOD＝∠ADO时，有：190°－α＝α－60°，得：2α＝250°，∴α＝125°。

二、当∠AOD＝∠OAD时，有：∠AOD＝（180°－∠ADO）/2，
　　190°－α＝［180°－（α－60°）］/2，∴380°－2α＝180°－α＋60°，
　　∴α＝380°－180°－60°＝140°。

三、当∠ADO＝∠OAD时，有：（180°－∠AOD）/2＝∠ADO，
　　∴［180°－（190°－α）］/2＝α－60°，∴180°－190°＋α＝2α－120°，
　　∴α＝180°－190°＋120°＝110°。

综上所述，得：当α为110°、125°、140°中的任意一者时，△AOD都是等腰三角形。

Answer 2

第一个问题：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°。
∵△ADC≌△BOC，∴DC＝OC，而∠DCO＝60°，∴△COD是等边三角形
解：（2）∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°，
∴∠BCO=∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵OC=CD∠BCO=∠ACDBC=AC​，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，
而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=150°-60°=90°，
∴△ADO是直角三角形；

（3）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60°，b+c=180°-110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，
∴b-d=10°，
∴（60°-a）-d=10°，
∴a+d=50°，
即∠CAO=50°，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∴190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴190°-α=50°，
∴α=140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．