Question

已知函数f(x)=x+a/x,g(x)=a-2x 若不等式f(x)大于等于g(x)在 [1,正无穷]恒成立，试求实数a的取值范围。

Answer 1

f(x)≥g(x)在x∈[1,+∞)恒成立 推荐分离变量法，可以适当的减少分类讨论
解x+a/x≥a-2x 因为x＞0
∴x²+a≥ax-2x²
∴ 3x²≥(x-1)a 因为x≥1 x-1≥0 其中x=1你前面分类讨论下
∴a≤3x²/(x-1)=[3(x-1)²+6x-3]/(x-1)=[3(x-1)²+6(x-1)+3]/(x-1)=3(x-1)+3/(x-1)+6
而h(x)=3(x-1)+3/(x-1)+6的最小值为12 （单调性或均值不等式）
所以a≤12

Answer 2

解：为使x+(a/x)≥a-2x，即 3x+(a/x)-a=(3x²-ax+a)/x≥0对1≤x<+∞恒成立，也就是要使不等式
3x²-ax+a≥0对1≤x<+∞恒成立(因为x≥1，故可去掉分母).
3x²-ax+a=3[x²-(a/3)x]+a=3[(x-a/6)²-a²/36]+a=3(x-a/6)²-a²/12+a≥0
当对称轴x=a/6在区间[1，+∞)内，即a/6≥1，a≥6时，只需-a²/12+a≥0，即a²-12a=a(a-12)≤0，于是得0≤a≤12；故{a≥6}∩{0≤a≤12}={6≤a≤12}为解；