Question

怎么证明根号2是无理数？谢谢了！

Answer 1

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式： √2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把 √2=p/q 两边平方
得 2=(p^2)/(q^2) 即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也为偶数，设q=2n
既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾。这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。

Answer 2

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式： √2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把 √2=p/q 两边平方
得 2=(p^2)/(q^2) 即 2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m
由 2(q^2)=4(m^2)
得 q^2=2m^2
同理q必然也为偶数，设q=2n
既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾。这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。

或者假设根号2是有理数，那么假设根号2=m/n（m,n都是正整数，且m,n互质，如果不互质，那么我们还可以约分，就没有意义了）
根号2=m/n 两边平方化简 得 2n^2=m^2
于是m一定要是偶数，可以设m=2s 其中s是正整数
那么2n^2=4s^2 化简n^2=2s^2
于是n也一定要是偶数，于是 m n 都是偶数 这就和假设m n互质相矛盾了，所以假设不成立，即根号2是无理数

Answer 3

反证法 设根号2为有理数
则能表示为a/b（a，b互质）
两边平方得a^2=2b^2
2b^2为偶数
奇数平方不为偶
故a为偶，得a^2能被4整除
两边约去2得b也为偶数
与a,b互质矛盾。
所以，根号2是无理数。

Answer 4

20190821 数学04

Answer 5

教科书中有！