Question

微分方程xdy-ydx=y^2*e^ydy 为什么不能变成（x-y^2*e^y）dy-ydx=0 微分dy符合这个运算规则吗？

Answer 1

当然是可以这样变的，只是这样变化构不成一个恰当方程U(x,y)，使得dU(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，其中P(x,y)=-y，Q(x,y)=x-y²*e^y
因此这样组合是求不出来的。
只能考虑拆分。
首先y=0是此方程的一个常数解。
然后当y≠0时，两边同时除以y²，移项，有(ydx-xdy)/y²+(e^y)dy=0
因为(ydx-xdy)/y²=d(x/y)，(e^y)dy=d(e^y)
所以原微分方程的解为隐函数表达式x/y+e^y=C，即x=(C-e^y)y

综合上述，原微分方程的解为x=(C-e^y)y或y=0

追问

谢谢，能否告诉我为什么经过此变换就不能看做是全微分方程了？

追答

这是根据恰当方程定义来的。我第一段已经写了它的定义了啊
若存在一个U(x,y)，使得dU(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，那么原方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0便是一个恰当方程。U(x,y)称为P(x,y)dx+Q(x,y)dy的原函数。

Answer 2

这样就不好解了啊
符合运算。好象这个用分离变量来解