Question

|A-E|行列式计算，通过特征值求行列式的值

已知A的特征值为1，1，-2，求|A-E3|，|A+2E3|，|A²+3A-4E3|的值，实在看书都不会做啊。其中的E3里面的3都是下标，请教一下，并告诉我如何计算的，如果直接告诉我结果的就算了

Answer 1

综述：注意到1，2为特征值故｜A-E3|，｜A+2E3|都等于零｜A²+3A-4E3|=|A-E3||A+4E3|=0。

设f（x）＝x＾2＋3x－1

则B＝f（A）

由特征值的性质知：若λ是矩阵A的特征值，则f（λ）就是多项式矩阵f（A）的特征值，所以B＝f（A）的特征值是：f（－1），f（2），f（2）。

即B的特征值是：f（－1）＝（－1）＾2＋3＊（－1）－1＝－3

f（2）＝2＾2＋3＊2－1＝9

f（2）＝9

特征值是指设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

广义特征值

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν＝λBν，其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ可以通过求解方程（A-λB)ν＝0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛（pencil)”。

Answer 2

注意到1，2为特征值故|A-E3|，|A+2E3|都等于零|A²+3A-4E3|=|A-E3||A+4E3|=0。

设f（x）＝x＾2＋3x－1

则B＝f（A）

由特征值的性质知：若λ是矩阵A的特征值，则f（λ）就是多项式矩阵f（A）的特征值，

所以B＝f（A）的特征值是：f（－1），f（2），f（2）

即B的特征值是：f（－1）＝（－1）＾2＋3＊（－1）－1＝－3

f（2）＝2＾2＋3＊2－1＝9

f（2）＝9

性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

Answer 3

汗，

2个方法
第一种方法是最简单的，是注意到1，2为特征值故|A-E3|，|A+2E3|都等于零|A²+3A-4E3|=|A-E3||A+4E3|=0

第二种方法
若f(x)是一个多项式，f(A)称为矩阵多项式。
比如：f(x)=x^2+2x-1
则f(A)=A^2+2A-E
那么有一个结论：
如果a是A的特征值，那么f(a)是F(A)的特征值，且重数一样

另一个结论是，行列式等于其对应的矩阵的特征值的乘积。

本题也可以这么做
A-E3对应的多项式为x-1，故其特征值为：0，0，-3，故|A-E3|=0
A+2E3对应的多项式为x+2，故其特征值为：3，3，0，故|A+2E3|=0
A²+3A-4E3对应的多项式为x^2+3x-4，故其特征值为：0，0，-6，故|A²+3A-4E3|=0

我没猜错，你就昨天那人，你想知道的是第二种做法，其实昨天我已经简单介绍了。

追问

昨天什么时候的事情啊，我昨天自己看书的啊，呵呵

追答

。。。。。。。。。。记错人了。。。。