Question

求微分方程x*dy／dx+3y=x^4的通解

Answer 1

先求对应的齐次线性方程，dy/dx+3y/x=0.设u=y/x,那么y=ux, 那么d(xu)/dx+3y/x=0,所以u+xdu/dx+3u=0,所以-du/4u=1/xdx 积分得-lnu/4=lnx+c所以u^(-1/4)=cx 所以(y/x)^（-1/4)=cx 采用常数变易法设非齐次方程通解为（y/x)^(-1/4)=k(x)x 再代入原方程求导可得通解

Answer 2

①知识
一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=q(x)
一阶线性非齐次微分方程的通解；y=e^[-∫p(x)dx]{C+∫q(x)[e^[∫p(x)dx]]dx},(C为任意常数)
②解题
y'+(3/x)y=x^3.
则p(x)=3/x,它的一个原函数为3lnx,因此e^(-3lnx)=x^(-3).
又q(x)=x^3,所以∫q(x)[e^[∫p(x)dx]]dx=∫(x^3)(x^3)dx=∫(x^6)dx=(1/7)x^7
则y=x^(-3){C+(1/7)x^7},
所以y=Cx^(-3)+(x^4)/7.
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代入验证,正确。