Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2在x=1处有极值10，则f(2)=

Answer 1

由f(x)表达式可得f'(x) = 3x^2+2ax+b，f''(x)=6x+2a
由f(x)在x=1处有极值10可知，f(1)=1+a+b+a^2=10, 即a+b+a^2=9...①
且f'(1)=3+2a+b=0...②
将①②联立，解得a=-3,b=3或a=4,b=-11
当a=-3,b=3时，f''(1)=0，(1,10)不是极值点，不合题意，舍去
当a=4,b=-11时，f''(1)=14>0,(1,10)是极小值点，符合题意
将a=4,b=-11代入f(x), 可知f(2)=18

Answer 2

x=1是df/dx = 3x^2 +2ax + b =0的根
所以3+2a+b = 0 ----1
此时f(1)= 1+a+b+a^2 = 10 ----2
2-1得到
a^2 -a -12=0, a = 4或者a=-3
当a=4时，b= -11, df/dx = 3x^2 +8x -11,
当a=-3时,b=3, df/dx = 3x^2 -6x +3,此时由于二阶导数在x=1处也是0，这里不是极值点
所以a=4,b=-11
带入即可得到f(2)

Answer 3

解：f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2在x=1处有极值10
则 f(1)=10=1+a+b+a² f'(1)=0=3+2a+b
∴ a=-3，b=3 或 a=4，b=-11
f(2)=11或10

Answer 4

f'(x)=3x^2+2ax+b=0
3+2a+b=0
1+2a+b+a^2=10
解出a,b
然后代入x=2