Question

在∆ABC中，∠ABC=45度，AD为∠BAC的平分线，CE⊥AD于E （1）当∠BAC=60度时，求证：AE+EC=AB

Answer 1

证明 过D做DF垂直AB于F
首先 ，∠ACD=180°-45°-60°=75° ∠ ADC=∠BAD+∠ABD=30°+45°=75°
所以三角形ACD是等腰三角形 故有AD=AC
又由于∠FAD=∠EAC=30° ∠AFE=∠AEC=90°
所以三角形AFD全等于三角形AEC
所以有AF=AE EC=FD
再由直角三角形BFD中 ∠B=45° 所以DF=BF 所以EC=BF
所以AE+EC=AF+FB=AB
即AE+EC=AB

Answer 2

延长AD，在延长线上截取EF=EC，连接BF，CF
∵∠ABC=15°，∠BAC=60°
∴∠ACB=75°
∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC=30°
∵CE⊥AD，EF=EC
∴△CEF是等腰直角三角形
∴∠DFC=∠EFC=45°
∵∠ADB=∠CDF
∠ABD(∠ABC)=∠DFC=45°
∴△ABD∽△DFC
∴AD/DC=BD/DF
即AD×DF=BD×DC
∴A、B、F、C四点共圆（相交弦逆定理）
∴∠AFB=∠ACB=75°
∴∠ABF=180°-∠BAD-∠AFB=180°-30°-75°=75°
∴∠ABF=∠AFB
∴AB=AF=AE+EF=AE+EC

Answer 3

证明：因为AE+EC=[（根3+1）/2]*AC，再由正弦定理知，AC/sin45=AB/sin75，就可证得。