Question

已知函数f(x)=Asin(Wx+φ)(A>0,w>0,|φ|<π/2)的一段图像如下

(1)求f(x)的解析式
(2)求f(x)的单调区间,并指出F(x)的最大值及取到最大值时x的集合.

Answer 1

（1）A=3，
T/2=4π-π/4=15π/4.T=15π/2，W=2π/T=4/15，
带入（π/4，3）得，sin（π/15+φ）=1，|φ|<π/2，所以φ=13π/30
f(x)=3sin(4x/15+13π/30)

（2）正弦函数在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.
在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.
将4x/15+13π/30带入这2个区间分别求出增区间和减区间，最大值3，当x=2kπ+（π/2） ，k∈Z时取得，4x/15+13π/30=2kπ+（π/2），求解即可

Answer 2

由图得到A=3,T=2(4Pai-Pai/4)=7.5Pai

故有w=2Pai/T=2/7.5=4/15
即有f(x)=3sin(4/15x+Q)
f(Pai/4)=3sin(4/15*Pai/4+Q)=3
sin(Pai/15+Q)=1
Pai/15+Q=Pai/2
Q=13Pai/30
即有f(x)=3sin(4/15x+13Pai/30)
单调增区间是:2kPai-Pai/2<=4/15x+13Pai/30<=2kPai+Pai/2
即增区间是[15/2kPai-7/2Pai,15/2kPai+1/4Pai]
单调减区间是:2kPai+Pai/2<=4/15x+13Pai/30<=2kPai+3Pai/2
即减区间是[15/2kPai+1/4Pai,15/2kPai+4Pai]
F(x)的最大值是3,当4/15x+13/30Pai=2kPai+Pai/2,即X=15/2kPai+Pai/4时取得.