讨论狄利克雷函数的有界性和周期性
1个回答
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D(x)=1，当x为有理数；
D(x)＝0，当x为无理数。
显然0<=D(x)<=1，因此D(x)是有界函数。
任意的有理数r，由于有理数+有理数还是有理数，有理数+无理数＝无理数，因此
若x是有理数，则有 1＝D(x+r)＝D(x)；
若x是无理数，则有 0＝D(x+r)＝D(x)。
总之总有D(x+r)＝D(x)，于是r是D的周期，即任意非零有理数都是D(x)的周期。
D(x)＝0，当x为无理数。
显然0<=D(x)<=1，因此D(x)是有界函数。
任意的有理数r，由于有理数+有理数还是有理数，有理数+无理数＝无理数，因此
若x是有理数，则有 1＝D(x+r)＝D(x)；
若x是无理数，则有 0＝D(x+r)＝D(x)。
总之总有D(x+r)＝D(x)，于是r是D的周期，即任意非零有理数都是D(x)的周期。
追问
有界性呢？
追答
上面不是说了吗？
0<=D(x)<=1，D(x)是有界函数，上界是1，下界是0
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