Question

如图,在长方形ABCD中,∠DAE=∠CBE=45°,AD=4,求△ABE的面积和周长

Answer 1

如图，过E作EF⊥AB交AB于F

由已知得

DE=EC=AD=4, EF=AD=4，  ∠1=∠2=45°

∴△ABE为Rt△，AE=BE，AB=DE+EC=8

设AE=BE=a

则S△ABE=AB×EF/2=8×4/2=16

 

∵S△ABE=AE×BE/2=a×a/2

∴a×a/2=16

a=4√2

△ABE周长=AB+AE+BE=8+a+a=8+8√2

Answer 2

过E向AB边做条辅助线，垂直于AB，交AB于F，则EF为AB边上的高
因为,在长方形ABCD中，∠DAE=∠CBE=45°
所以，∠FAE=∠FBE=45°
所以AF=BF=AD
又因为AD=4,所以AF=BF=4，AB=AF+BF=4+4=8
所以△ABE的面积=1/2*AB*EF=1/2*8*4=16
AE²=AD²+DE²
因为AD⊥DE，∠DAE=45°，所以，∠AED=45°
所以DE=AD，又因为AD=4，所以DE=4
所以AE²=AD²+DE²=4²+4²=32
因为BC⊥CE，∠CBE=45°，所以，∠BEC=45°
所以∠AEB=180°-∠AED-∠BEC=180°-45°-45°=90°
在长方形ABCD中,∠DAE=∠CBE=45°
所以∠EAB=∠EBA=45°
所以EB=EA
所以△ABE的面积=1/2AE*BE=1/2AE²=1/2*32=16
△ABE的周长=AE+BE+AF+FB=2AE+2AD=2*根号下32+2*4=8+8根号2

Answer 3

ADE ECB等腰直角三角形
AD=BC=4 AE =BE=4根2
DE=AD=EC=BC=4 DC=8
ABE周长=8根2+8
面积SABE=1/2ABCD=1/2*AD*DC=1/2*8*4=16