Question

函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(x/y)=f(x)-f(y)

(1)求f(1)的值；
（2）若f(6)=1，解不等式f(x+5)-f(1/x)<2.

Answer 1

1、以x=y=1代入，得：
f(1)=f(1)－f(1)
得：f(1)=0

2、以x=36、y=6代入，得：
f(6)=f(36)－f(6)
f(36)=f(6)＋f(6)=2
则：
f(x＋5)－f(1/x)<f(36)
f[x(x＋5)]<f(36)
则：
(1)x＋5>0，得：x>－5
(2)1/x>0，得：x>0
(3)x(x＋5)<36，得：－9<x<4
综合(1)、(2)、(3)，得：0<x<4

追问

请帮忙解题！谢谢
已知a∈R,函数f(x)=e^x+a|x-2|.
（1）当0＜a≤e时，若函数f(x)在区间［1,+∞)上的最小值为e+1，求a的值;
(2)设实数a使得关于x的不等式f(x)≥x在区间(-∞,2］上恒成立，求证：这样的实数a的取值集合为一个区间［a0,+∞),且-1/2<a0<0.

Answer 2

（1）由于f(x/y)=f(x)-f(y)，令x=y，那么得出，f(1)=f(x)-f(x)=0
（2）由于f(x/y)=f(x)-f(y)，将不等式变形f(x+5)-f(1/x)=f(x+5/（1/x）)=f(x^2+5x)
又因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
所以令f(x^2+5x)=2，所求出的（0，x）就是不等式的解
f(x/y)=f(x)-f(y)，f(1)=0，设x=1，得出f(1/y)=f(1)-f(y)=-f(y)
令y=1/x，得到f(x^2)=2f(x)，
又因为f(6)=1，所以f(36)=2，
因此方程f(x^2+5x)=2，也就是x^2+5x=36，解出值为x=4或者-9
由于定义域为(0,+∞)
因此不等式f(x+5)-f(1/x)<2的解为(0,4)

Answer 3

令y=1，有：f(x)=f(x)-f(1)
∴f(1)=0
令x=36，y=6，有：f(6)=f(36)-f(6)
∴f(36)=2f(6)=2
f(x+5)-f(1/x)<2→f(x^2+5x)＜f(36)
→{x^2+5x＜36
x＞0
→0＜x＜4

Answer 4

（1）令x=y=1，f（1）=f（1）-f（1），得f（1）=0
（2）f(x+5)-f(1/x)=f[(x+5)x]，
f(6)=1，由f(36/6)=f(36)-f(6)得出f(36)=2
即f[(x+5)x]＜f（36），因为是增函数，所以（x+5）x=36，-9＜x＜4，
又因为定义域(0,+∞)所以0＜x＜4