Question

在三角形ABC中,角A、B、C所对的分别为a、b、c,已知asin²B/2+bsin²A/2=c/2

(1)求证：a,b,c成等差数列
（2）若a-b=4,△ABC三个内角的最大角为120°，求△ABC的面积S

Answer 1

证明：
(1)
已知asin²（B/2）+bsin²（A/2）=c/2

∵cosB = 1-2 sin²（B/2）

∴sin²（B/2）=(1- cosB)/2

同理，

cosA = 1-2 sin²（A/2）

∴sin²（A/2 =(1- cosA)/2

∴asin²（B/2）+bsin²（A/2）= c/2

→a×(1- cosB)/2＋b×(1- cosA)/2 = c/2

→a－a×cosB ＋b－b×cosA = c

a＋b－c = a×cosB+ b×cosA

根据余弦定理，可得

cosB = (a2 + c2 - b2) / (2·a·c)

cosA = (c2 + b2 - a2) / (2bc)

代入到a＋b－c = a×cosB+ b×cosA，得

a＋b－c = a×[(a2 + c2 - b2) / (2·a·c)]+ b×[(c2 + b2 - a2) / (2bc)]

=( a2 + c2 - b2＋c2 + b2 - a2)/2c

= 2 c2/2c

=c
a＋b－c = c → a＋b = 2c ∴ a,b,c成等差数列

(2)

(2)
∵a-b=4,可知，在△ABC中，a是∠A所对的边最大，

根据三角形中，大边对大角，

∴∠A=120°，∵a-b=4
∴b=a-4，

2c = a＋b = a + a-4 =2a -4 ∴c=a-2；

代入余弦公式：

a²=b²+c²-2bc·cosA
= (a-4)²+(a-2)²－2×(a-4) ×(a-2)×cos120°

整理化简得a²－9a＋14 =0
解得a =7 ,a= 2 ,当a = 2时，由c=a-2 = 0 ，无意义，
∴ a =7 b=a-4 = 7-4=3 c c=a-2 =7 -2 =5
b = 3 ,c =5
根据三角形的面积公式
S△ABC =(1/2)×b×c×sinA
=(1/2) ×3×7×sin120°
= (21/4)√3
∴S△ABC =(21/4)√3

Answer 2

1. 利用cos2α=cos²α-sin²α=1-2sin²α将左边的三角函数降次；
2. 再利用余弦公式把左边的余弦函数写成关于边的表达式；
3. 即可得2b=a+c；
4. 由题意知角A等于120°，b=a-4，c=a-8；
5. 代入余弦公式：a²=b²+c²-2bc·cosA，解未知数a；
6. 利用面积公式S=1/2*bc*sinA求出面积。