Question

积分体积题

Find the volume common to two spheres, each with radius r, if the distance between their centers is r/2. (一个球形和另一个球形重叠，它们的半径为r，且它们的中心距离为r/2，求重叠部分的体积。）

Answer 1

设两个半径为r圆心距为r/2的方程为

(x-r/4)^2+y^2=r^2   (x+r/4)^2+y^2=r^2

绕x轴旋转即为所两个重叠的球

根据对称性

只要计算(x-r/4)^2+y^2=r^2  0≤x≤3r/4 乘2

V=2π∫y^2dx(0≤x≤3r/4)

=2π∫r^2-(x-r/4)^2dx

=2π∫r^2dx-2π∫(x-r/4)^2dx-r/4

=[2πr^2x-2π(x-r/4)^3/3]0≤x≤3r/4

=3πr^3/2-r^3π/6-r^3π/96

=57πr^3/96 

Answer 2

求第一象限积分值乘以4