Question

若x，y，为正实数，且x+2y=xy；求（1）x+y的最小值；（2）求xy的最小值。

Answer 1

x＋2y=xy，则：
(1/y)＋(2/x)=1
(1)x＋y
=(x＋y)[(1/y)＋(2/x)]
=3＋[(x/y)＋(2y/x)]
因为(x/y)＋(2y/x)≥2√2，则：
x＋y≥2√2＋3
即x＋y的最小值是2√23

(2)x＋2y≥2√(2xy)，则：
xy≥(2√2)√(xy)，得：
√(xy)≥2√2
xy≥8
即：xy的最小值是8

Answer 2

x+2y=xy得：y=x/(x-2)
z=x+y=x+x/(x-2)
z'=1-2/(x-2)^2=[(x-2)^2-2]/(x-2)^2 ,当x=2±√2,z'=0，这时y=(2±√2)/±√2=1±√2
而：z''>0，故x=2±√2为极小值点.

x+y=(2-√2)+1-√2=3-2√2为最小
xy=(2-√2)(1-√2)=4-2√2为最小

Answer 3

x+2y=xy
x=2y/(y-1)
x+y=(y²+y)/(y-1)
对其求导，得：(x+y)'=(2y+1)/(y-1) （y≠1）
判断：当y=0时，x+y=-1为最小值
又：xy=2y²/(y-1)
对其求导，得(xy)'=4y/(y-1) （y≠1）
判断：当y=0时，xy=0为最小值
（所谓“判断”，就是将y分别代入其他值，看结果哪个最小）

Answer 4

（1）x＋2y=xy
(1/y)＋(2/x)=1
x＋y=(x＋y)[(1/y)＋(2/x)]
=3＋[(x/y)＋(2y/x)]
因为(x/y)＋(2y/x)≥2√2
所以x＋y≥2√2＋3
即x＋y的最小值是2√2+3

（2）xy=x+2y≥2√2xy
所以 √（xy）≥2√2
xy≥8 当且仅当x=2y时即x=4，y=2时取最小值8

Answer 5

(1)x+2y=xy,解得y=x/(x-2)=1+2/(x-2),因为y>0所以x>2,所以x+y=x+2/(x-2)+1=(x-2)+2/(x-2)+3≥3+2√2
(2)x+2y=xy,解得y=x/(x-2)，因为y>0所以x>2，所以xy=(x^2)/(x-2)
设x-2=t,所以xy=(t+2)^2/t=t+4/t+4≥8