Question

第二类曲线积分的问题，积分与路径无关 为什么用AD的路径算的是错的呢？

Answer 1

曲线积分与路径无关除了要求aQ/ax＝aP/ay，还有一个前提：
这个等式在区域上都成立。
按本题的路径，直接从A到D的路径和从A到B再到D的路径包围
的区域中有原点，而P，Q在原点都不可微，因此积分不再是
与路径无关了。准确的说，这个从A到B到D再到A的闭曲线的积分
不是0，应该是2pi，没多转一圈积分值都要多加2pi。
因此要想做到与路径无关，你必须在一个不能绕原点转的区域上才行。
比如如果积分路径都在左半平面，或者都在上半平面，此时积分就与路径无关了。

追问

那应该怎么算比较简单？

追答

一是求原函数：arctan(y/(2x))是原函数。注意到原函数在x=0的地方不可微，因此
积分时的上下限就要以之为分界点。比如本题，在y轴上去点
E(0,-1)，F(0,1)。则
先计算从A到E的积分值是lim arctan(y/(2x))-arctan(0/(2*-1))
=pi/2。注意，此式取极限时要求y趋于-1，x从小于0的地方趋于0，
因此y/(2x)是趋于正无穷，极限是pi/2。
再计算从E到F的积分，取极限是也要注意正负号，
在E点时y趋于-1，x从大于0的方向趋于0，因此极限是-pi/2，
F点y趋于1，x从大于0的方向趋于0，极限是pi/2，两者相减是pi。
再从F到D类似计算可得结果。
另外做法与之类似。
先计算绕一圈AEBFA（L）的积分。这个可以用挖洞的Green公式。
以原点为心做一个小椭圆S：4x^2+y^2=e^2，e充分小，方向为逆时针。
则L的积分-S的积分=0（这是Green公式），
因此L的积分=S的积分
=S上(xdy-ydx)/(e^2) 再用Green公式
=2S包围的面积/e^2
=pi。（好像是这个结果，你再仔细计算吧）
于是ABD的积分+DA的积分=pi，
计算出DA的积分即可。

Answer 2

还需要单连通区域内无奇点才能说和路径无关。

显然，AD+原来的路径包含了，0这个奇点。

所以有关了。