Question

一道数学题（数列）

等差数列{a[n]}与等比数列{b[n]}满足：a[1]=b[1]>0,a[2n+1]=b[2n+1],且等差数列{a[n]}的公差d>0,试比较a[n+1]与b[n+1]的大小

Answer 1

已知等差数列{a[n]}与等比数列{b[n]}满足：a[1]=b[1]>0,a[2n+1]=b[2n+1],，所以a[n+1]=（a[1]+a[2n+1]）/2,b[n+1]=(b[1]a[2n+1])^0.5，且我们知道算术平均数比几何平均数要大，所以a[n+1]>b[n+1]

Answer 2

a[2n+1]=a[1]+2nd
b[2n+1]=a[1]q^2n
∴q^n=√a[1]+2nd/a[1]
又∵b[n+1]=b[1]q^n=b[1]√a[1]+2nd/a[1]=√a[1](a[1]+2nd)
根据均值不等式
∴√a[1](a[1]+2nd)≤(a[1]+a[1]+2nd)/2
∴a[n+1]≥b[n+1]

Answer 3

a1=b1
a(2n+1)=a1+2nd
b(2n+1)=b1q²ⁿ=a1q²ⁿ
a1+2nd=a1q²ⁿ
nd=(1/2)[a1q²ⁿ-a1]
a(n+1)-b(n+1)=[a1+nd]-a1qⁿ=[a1+(1/2)(a1q²ⁿ-a1]-a1qⁿ
=(1/2)[(qⁿ)²-2qⁿ+1]
=(1/2)(qⁿ-1)² ①
a3=a1+2d
b3=a1q²
因为
a3=b3
所以
a1+2d=a1q²==>2d=a1(q²-1)>0
==>q²>1==>qⁿ≠1
所以①中的 (1/2)(qⁿ-1)²>0
a(n+1)>b(n+1)