Question

线性代数 向量无关的判断问题

划红线的地方这个Aa1 Aa2 … Aas 线性无关的结论是怎么得到的？

Answer 1

我知道楼主一定是觉得无法判断n和s的大小

其实这里n一定大于s
如果n小于s，假设n=4，s=5
那么a1,a2,...,as就是5个4维向量，我们知道
n+1个n维向量是一定线性相关的。那么题目就无法假定a1,a2,...,as无关（C,D）了

换句话说，当我们研究C,D这两个选项的时候，就是有一个隐含的条件
n>s
-----------------------
另外，其实我也感觉这个题目的说明好像是不太对。
我们知道r（AB)<min{r（A），r（B）}
在这题里面，就是r(A(a1,a2,...,as))<=min{r（A），r（a1,a2,...,as）}
a1,a2,...,as无关，即r（a1,a2,...,as）=s

所以当r（A）=n 的时候，只能得到r(A(a1,a2,...,as))<=s，这时候，如果是小于，就是相关，如果是等于，就是无关。也就是说，只要A的秩大于s，那么就无法判断，A(a1,a2,...,as)是相关还是无关。
所以单说C,D都是不对的。

Answer 2

A看成这两个向量组的过渡矩阵，
A可逆
则这两个向量组等价，即向量组a1,a2,...,as和向量组向量组Aa1,Aa2,....,Aas等价。
因为这两个向量组向量个数相同
且向量组a1,a2,...,as无关。
故向量组Aa1,Aa2,....,Aas无关

追问

嗯 不过可逆不是针对于 方阵而言的嘛 这里A不是方阵

追答

没看清题，方法可行，说明的比较麻烦。
可以填充至方阵，添加到前面使得有n个向量线性无关，a1,a2,...,an
后面也产生n个向量。
在A中取一个n阶子式B，B可逆，
那么Ba1,Ba2,....,Ban，是Aa1,Aa2,....,Aan删去一些分量的结果。
前者无关，故后者无关。
Aa1,Aa2,....,Aas是Aa1,Aa2,....,Aan的一部分
后者无关，故前者无关。即Aa1,Aa2,....,Aas无关

Answer 3

反证，若Aa1,Aa2,....,Aas线性相关，则r(Aa1,Aa2,....,Aas)<s
而r(Aa1,Aa2,....,Aas)=r(A(a1,a2,...,as))<=min{r(A),r(a1,a2,...,as)}=min{n,s}
又因为a1,a2,...,as均为n为列向量，所以r(a1,a2,...,as)<=n，亦即s<=n
故min{n,s}=s,这显然与题设矛盾

追问

非常感谢 不过还是不懂
又因为a1,a2,...,as均为n为列向量，所以r(a1,a2,...,as)<=n，
亦即s<=n ---这里是为什么呢？我并不知道 a1,a2,...,as 的相关性啊

假设a1 a2 ...as 相关 则r(a1 a2 ...as)<s 而r(A)<=n 故r(Aa1,Aa2,...Aas)<=min(s,n) 但是我无法确定s n到底谁比较大呀...