Question

计算：lim(n→∞)(1-a^n)/(1+a^n)

需要具体过程

Answer 1

解：当│a│<1时，lim(n->∞)(a^n)=0
故 lim(n->∞)[(1-a^n)/(1+a^n)]=(1-0)/(1+0)
=1；
当│a│>1时，lim(n->∞)(1/a^n)=0
故 lim(n->∞)[(1-a^n)/(1+a^n)]=lim(n->∞)[(1/a^n-1)/(1/a^n+1)] (分子分母同除a^n)
=(0-1)/(0+1)
=-1；
当a=1时， lim(n->∞)[(1-a^n)/(1+a^n)]=lim(n->∞)[(1-1)/(1+1)]
=lim(n->∞)(0)
=0；
当a=-1时，∵当n是偶数时，(1-a^n)/(1+a^n)=(1-1)/(1+1)=0
当n是奇数时，(1-a^n)/(1+a^n)=(1+1)/(1-1)=∞
∴lim(n->∞)[(1-a^n)/(1+a^n)]=不存在。

Answer 2

当a>1，a^n趋向于无穷大，整个式子趋向于-1 当0<a<1，a^n趋向于0,整体式子趋向于1

追问

那么小于0，等于0，等于1的情况呢？

Answer 3

a>1时，分母为a^n, 分子为-a^n,极限为－1
a＝1时，极限为0
－1<a<1时时，极限为1
a<-1时，a^n在正无穷大和负无穷大之间摇摆，导致极限在1，－1间摇摆，所以没有极限