Question

设M(a,0)是抛物线y^2=2px对称轴上的一个定点,过M的直线交抛物线于A,B两点,其纵坐标分别为y1，y2，

设M(a,0)是抛物线y^2=2px对称轴上的一个定点,过M的直线交抛物线于A,B两点,其纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2为定值。

Answer 1

证明：设过M的直线方程为y=k(x-a)+b
联立y=k(x-a)
y^2=2px
消去x得：
ky^2/(2p)-y-ak=0
因为交点AB的纵坐标为y1y2，显然纵坐标为该方程的两根
则根据韦达定理：
y1y2=(-ak)/(k/2p)
=2p(-ak)/k
=-2pa
=定值
命题获证

Answer 2

设直线为X=mY+a
将该式代入y^2=2px 得y^2-2pmY-2pa=0若抛物线与直线有交点 则该式有解所以存在Y1Y2=-2Pa为一定值