Question

已知a,b,c分别是三角形ABC的三边长,且a^2+b^2+c^2=1.5，a+b+c=3倍的根号2 /2,试判断这个三角形的形状

Answer 1

a＋b＋c=3√2，则：
(a＋b＋c)²=(3√2/2)²
a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ac=9/2
以a²＋b²＋c²=3/2代入，得：
2ab＋2bc＋2ac=3
即：
ab＋bc＋ca=3/2，因a²＋b²＋c²=3/2，则：
a²＋b²＋c²=ab＋bc＋ca
2a²＋2b²＋2c²－2ab－2bc－2ac=0
(a²－2ab＋b²)＋(b²－2bc＋c²)＋(c²－2ac＋c²)=0
(a－b)²＋(b－c)²＋(c－a)²=0
则：a－b=0且b－c=0且c－a=0
得：a=b=c
这个三角形是等边三角形。

Answer 2

正三角形
分析：
由均值不等式可得：a^2+b^2≥2ab , b^2+c^2≥2bc , c^2+a^2≥2ca
三式相加得：2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+bc+ca) (当且仅当a=b=c时取等号)
则(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)
≤3(a^2+b^2+c^2) (当且仅当a=b=c时取等号)
而我们发现，将a^2+b^2+c^2=1.5及a+b+c=3√2/2带入到上不等式中，发现左右两边相等

根据均值不等式的等式条件可知，此时必有a=b=c
也就是说该三角形为正三角形
（说明：此类问题没有常规方法，只是利用找特殊情况来解决，像该题，如果不是这种特殊情况，就很难或者不能判断）