Question

设定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，且f(x)在区间(0，1)上单调递减，若f(1-a)+f(1-2a)＜0

设定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，且f(x)在区间(0，1)上单调递减，若f(1-a)+f(1-2a)＜0，求实数a范围

Answer 1

该函数为奇函数，关于原点对称，因在[0,1)上单调递减，所以，在（－1，0]之间也为单调递减。
由此得：

－1<1-a<1,-1<1-2a<1,
f(1-a)<-f(1-2a)
f(1-a)<f(2a-1)

由减函数得 1-a>2a-1

三式联立，解得 0<a<2/3

Answer 2

原问题等价于：1.-1<1-a<1. 2.-1<1-2a<1. 3.f(x)是奇函数，必在（-1,1)上递减，又f(0)=0,故f(1-a)<-f(1-2a)=f(2a-1),∴1-a>2a-1.∴0<a<2/3.